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1 • Différentiabilité
1.2 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
Nous arrivons maintenant à l’un des résultats fondamentaux du calcul différentiel.
Pour une fonction de variable réelle et à valeurs réelles, on connaît la formule
des accroissements finis (conséquence du théorème de Rolle, voir l’appendice) : si
w : I ⊂ R → R est dérivable sur l’intervalle I , alors pour tout (x, y) ∈ I × I (avec
x < y), il existe t ∈]x, y[ tel que
f (x) − f (y) = f
(t) (x − y) .
Par suite, si | f
| est majorée par une constante k > 0 sur l’intervallle I , on a l’inégalité
des accroissement finis :
| f (x) − f (y) | ≤ k | x − y | quel que soit (x, y) ∈ I × I .
Mais pour une fonction f à valeurs dans un espace autre que R, il n’y a pas de
formule des accroissements finis : par exemple, la fonction f : x → e
i x est dérivable,
et sa dérivée x → i e
i x ne s’annule pas, bien qu’il existe des points (nombreux) x et
y distincts où f (x) = f (y). En revanche, l’inégalité des accroissements finis reste
vraie comme on va le voir.
1.2.1 Cas des fonctions d’une variable réelle
Théorème 1.7 Soit f : I ⊂ R → F une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I et à valeurs dans un R-espace vectoriel normé F. On suppose qu’il existe
k > 0 tel que
f
(t) F ≤ k quel que soit t ∈ I .
Alors
f (x) − f (y) F ≤ k | x − y | quel que soit (x, y) ∈ I × I .
(1.5)
Démonstration. Sans perte de généralité, on prend (x, y) ∈ I × I avec
x < y. On ne va pas montrer directement (1.5), mais le résultat intermédiaire
suivant : pour tout ´ > 0 et pour tout t ∈ [x, y],
f (t) − f (x) F ≤ ( k + ´ ) ( t − x ) + ´ .
(1.6)
En l’appliquant à t = y puis en faisant tendre ´ vers 0, on en déduit en effet
(1.5). Pour démontrer (1.6), nous allons faire appel à l’axiome fondamental
de R, à savoir l’existence d’une borne inférieure pour tout ensemble non
vide et minoré. Considérons l’ensemble :
O := { t ∈ [x, y] ; f (t) − f (x) F > ( k + ´ ) ( t − x ) + ´ } .
1 • Différentiabilité
1.2 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
Nous arrivons maintenant à l’un des résultats fondamentaux du calcul différentiel.
Pour une fonction de variable réelle et à valeurs réelles, on connaît la formule
des accroissements finis (conséquence du théorème de Rolle, voir l’appendice) : si
w : I ⊂ R → R est dérivable sur l’intervalle I , alors pour tout (x, y) ∈ I × I (avec
x < y), il existe t ∈]x, y[ tel que
f (x) − f (y) = f
(t) (x − y) .
Par suite, si | f
| est majorée par une constante k > 0 sur l’intervallle I , on a l’inégalité
des accroissement finis :
| f (x) − f (y) | ≤ k | x − y | quel que soit (x, y) ∈ I × I .
Mais pour une fonction f à valeurs dans un espace autre que R, il n’y a pas de
formule des accroissements finis : par exemple, la fonction f : x → e
i x est dérivable,
et sa dérivée x → i e
i x ne s’annule pas, bien qu’il existe des points (nombreux) x et
y distincts où f (x) = f (y). En revanche, l’inégalité des accroissements finis reste
vraie comme on va le voir.
1.2.1 Cas des fonctions d’une variable réelle
Théorème 1.7 Soit f : I ⊂ R → F une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I et à valeurs dans un R-espace vectoriel normé F. On suppose qu’il existe
k > 0 tel que
f
(t) F ≤ k quel que soit t ∈ I .
Alors
f (x) − f (y) F ≤ k | x − y | quel que soit (x, y) ∈ I × I .
(1.5)
Démonstration. Sans perte de généralité, on prend (x, y) ∈ I × I avec
x < y. On ne va pas montrer directement (1.5), mais le résultat intermédiaire
suivant : pour tout ´ > 0 et pour tout t ∈ [x, y],
f (t) − f (x) F ≤ ( k + ´ ) ( t − x ) + ´ .
(1.6)
En l’appliquant à t = y puis en faisant tendre ´ vers 0, on en déduit en effet
(1.5). Pour démontrer (1.6), nous allons faire appel à l’axiome fondamental
de R, à savoir l’existence d’une borne inférieure pour tout ensemble non
vide et minoré. Considérons l’ensemble :
O := { t ∈ [x, y] ; f (t) − f (x) F > ( k + ´ ) ( t − x ) + ´ } .