1.1 Introduction
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➤ Opérateur « nabla » :
On note ∇ f (x) (qui se lit « nabla f de x » ) la matrice transposée de D f (x), de sorte
que :
(∇ f (x)) i, j = ∂ i f j (x) .
Cette notation est souvent utilisée lorsque q = 1, auquel cas ∇ f (x) est une matrice
colonne, que l’on identifie à un vecteur de R
p appelé gradient de f au point x.
c) Opérateurs différentiels classiques
Comme on vient de le voir, pour une fonction différentiable à valeurs scalaires,
w : U ⊂ R
p
→ R, le gradient est défini par :
grad w : U ⊂ R
p
→ R
p
x
→ (grad w)(x) :=
∂ 1 w(x) , . . . , ∂ p w(x)
t .
On écrit indifféremment grad w ou ∇w.
Par ailleurs, pour une fonction différentiable f : U ⊂ R
p
→ R
p (noter l’égalité
des dimensions au départ et à l’arrivée), de composantes ( f 1 , . . . , f p ), on définit la
divergence par
div f : U ⊂ R
p
→ R
x
→ (div f )(x) := tr (D f (x)) =
p
i=1
∂ i f i (x) .
Il est parfois commode d’écrire div f = ∇ · f , où ∇ est l’opérateur nabla défini
ci-dessus, dont les « composantes » sont les dérivées partielles ∂ i , la notation · se
rapportant ici au produit scalaire canonique sur R
p , défini par
x · y =
p
i=1
x i y i .
Lorsque p = 3, on définit aussi le rotationnel de f
rot f : U ⊂ R
3
→ R
3
x
→ (rot f )(x)
par
(rot f )(x) :=
∂ 2 f 3 (x) − ∂ 3 f 2 (x) , ∂ 3 f 1 (x) − ∂ 1 f 3 (x) , ∂ 1 f 2 (x) − ∂ 2 f 1 (x)
t .
Si × désigne le produit vectoriel dans R
3 , il est parfois commode de voir le rotationnel
comme rot f = ∇ × f .
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