18
1 • Différentiabilité
pour i ∈ {1, . . . , p}. Par linéarité de d f (x), on voit que pour tout h ∈ R
p , de
composantes (h 1 , . . . , h p ),
d f (x) · h = d f (x) ·
p
i=1
h i e i
=
p
i=1
h i d f (x) · e i =
p
i=1
h i
∂ f
∂x i
(x) .
Remarque : Quel que soit i ∈ {1, . . . , p}, l’application h ∈ R
p
→ h i ∈ R
est une forme linéaire continue (c’est-à-dire un élément de L(R
p ; R)). Si on la
note dx i , la différentielle de f au point x s’écrit
d f (x) =
p
i=1
∂ f
∂x i
(x) dx i .
Ce point de vue sera poussé plus avant au chapitre 4 sur les formes différentielles.
Attention, comme on l’a déjà signalé à propos des différentielles partielles, dont les
dérivées partielles sont un cas particulier (avec E i = R quel que soit i), la seule
existence de dérivées partielles n’est pas suffisante en général pour qu’une fonction
soit différentiable. Plus précisément, on a la caractérisation suivante.
Théorème 1.6 Une application f : U ⊂ R
p
→ F = R
q est continûment
différentiable si et seulement si ses p dérivées partielles existent et sont continues
sur U .
Ce résultat est un cas particulier du théorème 1.12 (page 23), que l’on verra comme
conséquence du théorème des accroissements finis au paragraphe 1.2.3.
b) Matrice jacobienne
Si une fonction f : U ⊂ R
p
→ R
q , de composantes ( f 1 , . . . , f q ), est différentiable au point x, on définit sa matrice jacobienne au point x comme la matrice de
l’application linéaire d f (x) dans les bases canoniques de R
p et R
q . Elle est donnée
par
D f (x) =
⎛
⎜
⎝
∂ 1 f 1 (x) · · · ∂ p f 1 (x)
. . .
. . .
∂ 1 f q (x) · · · ∂ p f q (x)
⎞
⎟
⎠ ∈ M q, p (R) .
Autrement dit, le coefficient de la matrice jacobienne de f d’indice i ∈ {1, · · · , q} en
ligne et j ∈ {1, · · · , p} en colonne est
(D f (x)) i, j = ∂ j f i (x) .
En particulier, si q = 1, D f (x) est une matrice ligne. De façon générale, les lignes
de D f (x) sont les D f i (x).
1 • Différentiabilité
pour i ∈ {1, . . . , p}. Par linéarité de d f (x), on voit que pour tout h ∈ R
p , de
composantes (h 1 , . . . , h p ),
d f (x) · h = d f (x) ·
p
i=1
h i e i
=
p
i=1
h i d f (x) · e i =
p
i=1
h i
∂ f
∂x i
(x) .
Remarque : Quel que soit i ∈ {1, . . . , p}, l’application h ∈ R
p
→ h i ∈ R
est une forme linéaire continue (c’est-à-dire un élément de L(R
p ; R)). Si on la
note dx i , la différentielle de f au point x s’écrit
d f (x) =
p
i=1
∂ f
∂x i
(x) dx i .
Ce point de vue sera poussé plus avant au chapitre 4 sur les formes différentielles.
Attention, comme on l’a déjà signalé à propos des différentielles partielles, dont les
dérivées partielles sont un cas particulier (avec E i = R quel que soit i), la seule
existence de dérivées partielles n’est pas suffisante en général pour qu’une fonction
soit différentiable. Plus précisément, on a la caractérisation suivante.
Théorème 1.6 Une application f : U ⊂ R
p
→ F = R
q est continûment
différentiable si et seulement si ses p dérivées partielles existent et sont continues
sur U .
Ce résultat est un cas particulier du théorème 1.12 (page 23), que l’on verra comme
conséquence du théorème des accroissements finis au paragraphe 1.2.3.
b) Matrice jacobienne
Si une fonction f : U ⊂ R
p
→ R
q , de composantes ( f 1 , . . . , f q ), est différentiable au point x, on définit sa matrice jacobienne au point x comme la matrice de
l’application linéaire d f (x) dans les bases canoniques de R
p et R
q . Elle est donnée
par
D f (x) =
⎛
⎜
⎝
∂ 1 f 1 (x) · · · ∂ p f 1 (x)
. . .
. . .
∂ 1 f q (x) · · · ∂ p f q (x)
⎞
⎟
⎠ ∈ M q, p (R) .
Autrement dit, le coefficient de la matrice jacobienne de f d’indice i ∈ {1, · · · , q} en
ligne et j ∈ {1, · · · , p} en colonne est
(D f (x)) i, j = ∂ j f i (x) .
En particulier, si q = 1, D f (x) est une matrice ligne. De façon générale, les lignes
de D f (x) sont les D f i (x).