1.1 Introduction
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est bilinéaire continue, et l’on a par définition f(u, f (u)) = Id X (l’application identité
sur X ). Par suite, en supposant a priori que f est différentiable, on a pour tout u ∈ U
et h ∈ E,
f(h, f (u)) + f(u, d f (u) · h) = 0 .
Autrement dit, u
−1
◦ h = − (d f (u) · h) ◦ u, d’où d f (u) · h = − u
−1
◦ h ◦ u
−1 .
1.1.4 Différentielles en dimension finie
On suppose dans ce paragraphe que E = R
p et F = R
q , avec p, q ∈ N
∗ .
➤ Notations.
Pour un vecteur x ∈ R
p , resp. y ∈ R
q , on notera (x 1 , . . . , x p ), resp. (y 1 , . . . , y q ) ses
composantes. (Attention à ne pas confondre avec les n-uplets de vecteurs considérés
au paragraphe 1.1.2.) La « matrice du vecteur » x, resp. y, sera notée X , resp. Y . Ce
sont les matrices colonnes :
X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x p
⎞
⎟
⎠ ∈ M p,1 (R) , Y =
⎛
⎜
⎝
y 1
. . .
y q
⎞
⎟
⎠ ∈ M q,1 (R) .
On désigne par e 1 , . . . , e p les vecteurs de la base canonique de R
p : par définition,
le vecteur e i (pour i ∈ {1, . . . , p}) a toutes ses composantes nulles sauf la i-ème qui
vaut 1.
a) Dérivées partielles
Pour tout x ∈ U de composantes (x 1 , . . . , x p ) et pour tout i ∈ {1, . . . , p}, l’ensemble
V i (x) := { t ∈ R ; (x 1 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x p ) ∈ U } est un voisinage ouvert de x i .
Supposons f : U ⊂ R
p
→ F différentiable. Alors l’application partielle
g i : V i (x) → F
t
→ f (x 1 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x p ) = f (x + (t − x i ) e i )
est dérivable en x i et g
i (x i ) = d f (x) · e i (dérivée de f dans la direction e i au point
x). Il est d’usage de noter cette dérivée
∂ f
∂x i
(x) , ou ∂ x i f (x) , voire simplement ∂ i f (x) .
On appelle dérivées partielles de f les fonctions
∂ i f : U →
F
x →
∂ f
∂x i
(x)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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est bilinéaire continue, et l’on a par définition f(u, f (u)) = Id X (l’application identité
sur X ). Par suite, en supposant a priori que f est différentiable, on a pour tout u ∈ U
et h ∈ E,
f(h, f (u)) + f(u, d f (u) · h) = 0 .
Autrement dit, u
−1
◦ h = − (d f (u) · h) ◦ u, d’où d f (u) · h = − u
−1
◦ h ◦ u
−1 .
1.1.4 Différentielles en dimension finie
On suppose dans ce paragraphe que E = R
p et F = R
q , avec p, q ∈ N
∗ .
➤ Notations.
Pour un vecteur x ∈ R
p , resp. y ∈ R
q , on notera (x 1 , . . . , x p ), resp. (y 1 , . . . , y q ) ses
composantes. (Attention à ne pas confondre avec les n-uplets de vecteurs considérés
au paragraphe 1.1.2.) La « matrice du vecteur » x, resp. y, sera notée X , resp. Y . Ce
sont les matrices colonnes :
X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x p
⎞
⎟
⎠ ∈ M p,1 (R) , Y =
⎛
⎜
⎝
y 1
. . .
y q
⎞
⎟
⎠ ∈ M q,1 (R) .
On désigne par e 1 , . . . , e p les vecteurs de la base canonique de R
p : par définition,
le vecteur e i (pour i ∈ {1, . . . , p}) a toutes ses composantes nulles sauf la i-ème qui
vaut 1.
a) Dérivées partielles
Pour tout x ∈ U de composantes (x 1 , . . . , x p ) et pour tout i ∈ {1, . . . , p}, l’ensemble
V i (x) := { t ∈ R ; (x 1 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x p ) ∈ U } est un voisinage ouvert de x i .
Supposons f : U ⊂ R
p
→ F différentiable. Alors l’application partielle
g i : V i (x) → F
t
→ f (x 1 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x p ) = f (x + (t − x i ) e i )
est dérivable en x i et g
i (x i ) = d f (x) · e i (dérivée de f dans la direction e i au point
x). Il est d’usage de noter cette dérivée
∂ f
∂x i
(x) , ou ∂ x i f (x) , voire simplement ∂ i f (x) .
On appelle dérivées partielles de f les fonctions
∂ i f : U →
F
x →
∂ f
∂x i
(x)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit