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1 • Différentiabilité
Par définition de la différentiabilité de f et de g,
lim
h
=
→0 E
w(h) F
h E
= 0 et lim
k
=
→0 F
g(k) G
k F
= 0 ,
ce que l’on peut aussi exprimer sous la forme
g(k) G = ´(k) k F avec lim
k→0 F
´(k) = 0 .
On a
g( f (x + h)) − g( f (x)) = g
f (x) + d f (x) · h + w(h)
− g( f (x)) =
= dg(y) ·
d f (x) · h + w(h)
+ g
d f (x) · h + w(h)
.
Par conséquent, pour h = 0 E ,
g( f (x + h)) − g( f (x)) − dg(y) ·
d f (x) · h
G
h E
=
dg(y) · w(h) + g
d f (x) · h + w(h)
G
h E
≤ dg(y)
w(h) F
h E
+
d f (x) +
w(h) F
h E
´
d f (x) · h + w(h)
.
Les deux morceaux ci-dessus tendent bien vers 0 lorsque h tend vers 0 E
puisque c’est le cas de w(h) F /h E , que d f (x) · h + w(h) tend vers 0 F
et que ´(k) tend vers 0 lorsque k tend vers 0 F .
Les exemples donnés au paragraphe précédent et les propriétés énoncées dans la proposition et le théorème ci-dessus permettent de calculer de nombreuses différentielles.
Une démarche générale pour montrer qu’une fonction est différentiable consiste à : 1)
supposer que sa différentielle existe et calculer un candidat pour cette différentielle ;
2) vérifier que la fonction est différentiable en injectant ce candidat dans la définition.
Voyons un exemple de calcul (étape 1, l’étape 2 faisant l’objet de l’exercice 1.7).
Soient X et Y des R-espaces de Banach. Considérons l’espace E := L(X ; Y ) et
l’ensemble U = Isom(X ;Y) ⊂ E des isomorphismes de X sur Y . (On rappelle que U
est ouvert.) Soit alors la fonction
f : U → F := L(Y ; X )
u → u
−1 .
L’application
f : E × F → L(X ; X )
(u, v) →
v ◦ u