1.1 Introduction
15
1.1.3 Premières propriétés de la différentielle
Proposition 1.4 Si f : U ⊂ E → F et g : V ⊂ E → F sont différentiables
respectivement sur des ouverts U et V d’un même espace E, alors leur somme f + g
est différentiable sur U ∩ V et
d( f + g) = d f + dg ,
c’est-à-dire que pour tout x ∈ U ∩ V et pour tout h ∈ E,
d( f + g)(x) · h = d f (x) · h + dg(x) · h .
De plus, quel que soit l ∈ R, la fonction l f est différentiable et
d(l f ) = ld f .
La démonstration découle directement de la définition (et de l’inégalité triangulaire
pour ce qui est de la somme). Cette proposition signifie que
– l’ensemble des fonctions différentiables sur U et à valeurs dans F est un espace
vectoriel,
– la différentiation d est une application linéaire de cet espace vectoriel dans
l’ensemble des fonctions de U dans L(E; F).
Le résultat suivant est moins évident à démontrer, mais il est extrêmement important : on le désigne souvent par règle de dérivation des fonctions composées (chain
rule en anglais). Dans l’énoncé, V est un ouvert de F et G est un espace de Banach.
Théorème 1.5 Si f : U ⊂ E → F est différentiable en un point x ∈ U et si
g : V ⊂ F → G est différentiable en f (x) ∈ V , alors la fonction composée
g ◦ f : U ⊂ E → G est différentiable en x et
d(g ◦ f )(x) · h = dg( f (x)) ·
d f (x) · h
quels que soient x ∈ U et h ∈ E .
Autrement dit,
d(g ◦ f )(x) = dg( f (x)) ◦ d f (x) quel que soit x ∈ U .
(1.4)
Démonstration. Notons
w(h) = f (x + h) − f (x) − d f (x) · h pour tout h ∈ E ,
g(k) = g(y+k) − g(y) − dg(y)·k pour tout k ∈ F , avec y = f (x) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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1.1.3 Premières propriétés de la différentielle
Proposition 1.4 Si f : U ⊂ E → F et g : V ⊂ E → F sont différentiables
respectivement sur des ouverts U et V d’un même espace E, alors leur somme f + g
est différentiable sur U ∩ V et
d( f + g) = d f + dg ,
c’est-à-dire que pour tout x ∈ U ∩ V et pour tout h ∈ E,
d( f + g)(x) · h = d f (x) · h + dg(x) · h .
De plus, quel que soit l ∈ R, la fonction l f est différentiable et
d(l f ) = ld f .
La démonstration découle directement de la définition (et de l’inégalité triangulaire
pour ce qui est de la somme). Cette proposition signifie que
– l’ensemble des fonctions différentiables sur U et à valeurs dans F est un espace
vectoriel,
– la différentiation d est une application linéaire de cet espace vectoriel dans
l’ensemble des fonctions de U dans L(E; F).
Le résultat suivant est moins évident à démontrer, mais il est extrêmement important : on le désigne souvent par règle de dérivation des fonctions composées (chain
rule en anglais). Dans l’énoncé, V est un ouvert de F et G est un espace de Banach.
Théorème 1.5 Si f : U ⊂ E → F est différentiable en un point x ∈ U et si
g : V ⊂ F → G est différentiable en f (x) ∈ V , alors la fonction composée
g ◦ f : U ⊂ E → G est différentiable en x et
d(g ◦ f )(x) · h = dg( f (x)) ·
d f (x) · h
quels que soient x ∈ U et h ∈ E .
Autrement dit,
d(g ◦ f )(x) = dg( f (x)) ◦ d f (x) quel que soit x ∈ U .
(1.4)
Démonstration. Notons
w(h) = f (x + h) − f (x) − d f (x) · h pour tout h ∈ E ,
g(k) = g(y+k) − g(y) − dg(y)·k pour tout k ∈ F , avec y = f (x) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit