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1 • Différentiabilité
• Fonctions à valeurs dans un espace produit : une fonction
f : U → F = F 1 × · · · × F n
x → f (x) = ( f 1 (x), . . . , f n (x))
est différentiable (en x) si et seulement si les fonctions f 1 , . . . , f n le sont. Si c’est
le cas, sa différentielle est donnée par
d f (x) · h = (d f 1 (x) · h, . . . , d f n (x) · h) .
(La vérification découle directement de la définition.)
• Fonctions définies sur un espace produit : la situation est plus subtile. Si
f : U ⊂ E 1 × · · · × E n → F
x = (x 1 , . . . , x n ) → f (x)
est différentiable, alors les applications partielles
x i → f (x 1 , . . . , x i−1 , x i , x i+1 , . . . , x n )
sont différentiables, et si l’on note d i f (x 1 , . . . , x n ) leurs différentielles en x i , on a
d f (x 1 , . . . , x n ) · (h 1 , . . . , h n ) =
n
i=1
d i f (x 1 , . . . , x n ) · h i .
(1.3)
En effet, la définition de la différentiabilité de f implique que
f (x 1 , . . . , x i + h i , . . . , x n ) − f (x 1 , . . . , x n ) − d f (x) · (0, . . . , h i , . . . , 0) F
h i E i
tend vers 0 lorsque h i tend vers 0, d’où la différentiabilité de la i-ème application
partielle et la valeur de sa différentielle au point x i appliquée au vecteur h i :
d i f (x 1 , . . . , x n ) · (h i ) = d f (x) · (0, . . . , h i , . . . , 0) .
On en déduit la formule (1.3) par linéarité de d f (x). Mais attention, la différentiabilité des applications partielles n’implique pas nécessairement la différentiabilité
de f (voir à nouveau l’exercice 1.2). On verra au paragraphe 1.2.3 une condition
suffisante pour que f soit différentiable, à savoir que les applications partielles
soient continûment différentiables.
1 • Différentiabilité
• Fonctions à valeurs dans un espace produit : une fonction
f : U → F = F 1 × · · · × F n
x → f (x) = ( f 1 (x), . . . , f n (x))
est différentiable (en x) si et seulement si les fonctions f 1 , . . . , f n le sont. Si c’est
le cas, sa différentielle est donnée par
d f (x) · h = (d f 1 (x) · h, . . . , d f n (x) · h) .
(La vérification découle directement de la définition.)
• Fonctions définies sur un espace produit : la situation est plus subtile. Si
f : U ⊂ E 1 × · · · × E n → F
x = (x 1 , . . . , x n ) → f (x)
est différentiable, alors les applications partielles
x i → f (x 1 , . . . , x i−1 , x i , x i+1 , . . . , x n )
sont différentiables, et si l’on note d i f (x 1 , . . . , x n ) leurs différentielles en x i , on a
d f (x 1 , . . . , x n ) · (h 1 , . . . , h n ) =
n
i=1
d i f (x 1 , . . . , x n ) · h i .
(1.3)
En effet, la définition de la différentiabilité de f implique que
f (x 1 , . . . , x i + h i , . . . , x n ) − f (x 1 , . . . , x n ) − d f (x) · (0, . . . , h i , . . . , 0) F
h i E i
tend vers 0 lorsque h i tend vers 0, d’où la différentiabilité de la i-ème application
partielle et la valeur de sa différentielle au point x i appliquée au vecteur h i :
d i f (x 1 , . . . , x n ) · (h i ) = d f (x) · (0, . . . , h i , . . . , 0) .
On en déduit la formule (1.3) par linéarité de d f (x). Mais attention, la différentiabilité des applications partielles n’implique pas nécessairement la différentiabilité
de f (voir à nouveau l’exercice 1.2). On verra au paragraphe 1.2.3 une condition
suffisante pour que f soit différentiable, à savoir que les applications partielles
soient continûment différentiables.