1.1 Introduction
13
Finalement, on conclut par l’inégalité triangulaire que le rapport
1
(h 1 , . . . , h n+1 ) E
f(x 1 + h 1 , . . . , x n+1 + h n+1 ) − f(x 1 , . . . , x n+1 ) −
n+1
j=1
f(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n+1 )
F
tend bien vers 0 lorsque (h 1 , . . . , h n+1 ) tend vers (0 E 1 , . . . , 0 E n+1 ).
• Une fonction d’une variable réelle est différentiable si et seulement si elle est
dérivable : la différentielle d’une fonction dérivable g : U ⊂ R → F est
donnée par
dg(t) · k = k g
(t) quels que soient t ∈ U et k ∈ R .
(Notons que k ∈ R est un scalaire et g
(t) ∈ F est un vecteur en général, c’est
pourquoi on les a écrits dans cet ordre.) En effet, rappelons que g est dérivable
en t si le taux d’accroissement (g(t + k) − g(t))/k a une limite lorsque k tend
vers 0, et la dérivée de g en t est alors définie par
g
(t) = lim
k
=
→0
g(t + k) − g(t)
k
.
Si tel est le cas
g(t + k) − g(t) − k g
(t) F
|k|
=
g(t + k) − g(t)
k
− g
(t)
F
tend vers 0 lorsque k tend vers 0, ce qui montre que g est différentiable en t
avec dg(t) · k = k g
(t). Réciproquement, si g est différentiable en t alors (par
linéarité de dg(t))
g(t + k) − g(t)
k
− dg(t) · 1
F
=
g(t + k) − g(t) − dg(t) · k F
|k|
tend vers 0 lorsque k tend vers 0, ce qui montre que g est dérivable en t avec
g
(t) = dg(t) · 1.
• Quel que soit l’espace de Banach E, si f : U ⊂ E → F est différentiable,
alors quels que soient x ∈ U et h ∈ E, la fonction
g : t → g(t) := f (x + th)
est dérivable en t = 0, et g
(0) = d f (x) · h . On dit que c’est la dérivée de
f dans la direction h (si h est non nul). Cela fournit une interprétation très
importante de la différentiabilité : une condition nécessaire pour qu’une fonction
soit différentiable est qu’elle soit dérivable dans toutes les directions ; attention
cependant, cette condition n’est pas suffisante (voir par exemple l’exercice 1.2),
elle correspond « seulement » à ce que l’on appelle la Gâteaux-différentiabilité.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Finalement, on conclut par l’inégalité triangulaire que le rapport
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(h 1 , . . . , h n+1 ) E
f(x 1 + h 1 , . . . , x n+1 + h n+1 ) − f(x 1 , . . . , x n+1 ) −
n+1
j=1
f(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n+1 )
F
tend bien vers 0 lorsque (h 1 , . . . , h n+1 ) tend vers (0 E 1 , . . . , 0 E n+1 ).
• Une fonction d’une variable réelle est différentiable si et seulement si elle est
dérivable : la différentielle d’une fonction dérivable g : U ⊂ R → F est
donnée par
dg(t) · k = k g
(t) quels que soient t ∈ U et k ∈ R .
(Notons que k ∈ R est un scalaire et g
(t) ∈ F est un vecteur en général, c’est
pourquoi on les a écrits dans cet ordre.) En effet, rappelons que g est dérivable
en t si le taux d’accroissement (g(t + k) − g(t))/k a une limite lorsque k tend
vers 0, et la dérivée de g en t est alors définie par
g
(t) = lim
k
=
→0
g(t + k) − g(t)
k
.
Si tel est le cas
g(t + k) − g(t) − k g
(t) F
|k|
=
g(t + k) − g(t)
k
− g
(t)
F
tend vers 0 lorsque k tend vers 0, ce qui montre que g est différentiable en t
avec dg(t) · k = k g
(t). Réciproquement, si g est différentiable en t alors (par
linéarité de dg(t))
g(t + k) − g(t)
k
− dg(t) · 1
F
=
g(t + k) − g(t) − dg(t) · k F
|k|
tend vers 0 lorsque k tend vers 0, ce qui montre que g est dérivable en t avec
g
(t) = dg(t) · 1.
• Quel que soit l’espace de Banach E, si f : U ⊂ E → F est différentiable,
alors quels que soient x ∈ U et h ∈ E, la fonction
g : t → g(t) := f (x + th)
est dérivable en t = 0, et g
(0) = d f (x) · h . On dit que c’est la dérivée de
f dans la direction h (si h est non nul). Cela fournit une interprétation très
importante de la différentiabilité : une condition nécessaire pour qu’une fonction
soit différentiable est qu’elle soit dérivable dans toutes les directions ; attention
cependant, cette condition n’est pas suffisante (voir par exemple l’exercice 1.2),
elle correspond « seulement » à ce que l’on appelle la Gâteaux-différentiabilité.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit