12
1 • Différentiabilité
Si de plus f est continue, il existe C > 0 tel que
f(h 1 , h 2 ) F ≤ C h 1 E 1 h 2 E 2 ≤
C
2
(h 1 , h 2 )
2
E .
(On a utilisé ici l’inégalité 2ab ≤ a
2 + b
2 , se déduisant de l’identité remarquable
(a − b)
2 = a
2 + b
2
− 2ab.) On en déduit que
f(x 1 + h 1 , x 2 + h 2 ) − f(x 1 , x 2 ) − f(h 1 , x 2 ) − f(x 1 , h 2 ) F
(h 1 , h 2 ) E
tend vers 0 lorsque (h 1 , h 2 ) tend vers (0 E 1 , 0 E 2 ). De plus, la différentielle de f,
df : E 1 × E 2 → L(E 1 × E 2 ; F)
(x 1 , x 2 ) → df(x 1 , x 2 ) : (h 1 , h 2 ) → f(h 1 , x 2 ) + f(x 1 , h 2 )
est continue : c’est même une application linéaire continue, de norme inférieure
ou égale à 2f.
Le cas général se traite par récurrence sur n. Admettons le résultat pour les
applications n-linéaires, et considérons une application (n + 1)-linéaire f. Alors
f(x 1 + h 1 , ., x n+1 + h n+1 ) − f(x 1 , ., x n+1 ) −
n+1
j=1
f(x 1 , ., x j−1 , h j , x j+1 , ., x n+1 ) =
f(x 1 + h 1 , ., x n + h n , x n+1 + h n+1 ) − f(x 1 + h 1 , ., x n + h n , x n+1 ) − f(x 1 , ., x n , h n+1 )
+f(x 1 + h 1 , ., x n + h n , x n+1 ) − f(x 1 , ., x n+1 ) −
n
j=1
f(x 1 , ., x j−1 , h j , x j+1 , ., x n+1 ).
Lorsqu’on divise cette égalité par (h 1 , . . . , h n , h n+1 ) E 1 ×···×E n+1 , qui par définition est supérieur à (h 1 , . . . , h n ) E 1 ×···×E n , la deuxième ligne du membre de
droite tend clairement vers 0, grâce à l’hypothèse de récurrence appliquée à
l’application n-linéaire (x 1 , . . . , x n ) → f(x 1 , . . . , x n , x n+1 ) . La première ligne
se réduit par multi-linéarité à :
f(x 1 + h 1 , . . . , x n + h n , h n+1 ) − f(x 1 , . . . , x n , h n+1 ) .
Or l’application
E 1 × · · · × E n →
L(E n+1 ; F)
(y 1 , . . . , y n ) → f(y 1 , . . . , y n , ·)
(où f(y 1 , . . . , y n , ·) désigne l’application linéaire h n+1 → f(y 1 , . . . , y n , h n+1 ))
est n-linéaire continue (de norme inférieure ou égale à celle de f). Donc pour
tout ´ > 0, il existe h > 0 tel que max j∈{1,··· ,n} h j E j ≤ h entraîne
f(x 1 + h 1 , . . . , x n + h n , h n+1 ) − f(x 1 , . . . , x n , h n+1 ) F ≤ ´ h n+1 E n+1 .
1 • Différentiabilité
Si de plus f est continue, il existe C > 0 tel que
f(h 1 , h 2 ) F ≤ C h 1 E 1 h 2 E 2 ≤
C
2
(h 1 , h 2 )
2
E .
(On a utilisé ici l’inégalité 2ab ≤ a
2 + b
2 , se déduisant de l’identité remarquable
(a − b)
2 = a
2 + b
2
− 2ab.) On en déduit que
f(x 1 + h 1 , x 2 + h 2 ) − f(x 1 , x 2 ) − f(h 1 , x 2 ) − f(x 1 , h 2 ) F
(h 1 , h 2 ) E
tend vers 0 lorsque (h 1 , h 2 ) tend vers (0 E 1 , 0 E 2 ). De plus, la différentielle de f,
df : E 1 × E 2 → L(E 1 × E 2 ; F)
(x 1 , x 2 ) → df(x 1 , x 2 ) : (h 1 , h 2 ) → f(h 1 , x 2 ) + f(x 1 , h 2 )
est continue : c’est même une application linéaire continue, de norme inférieure
ou égale à 2f.
Le cas général se traite par récurrence sur n. Admettons le résultat pour les
applications n-linéaires, et considérons une application (n + 1)-linéaire f. Alors
f(x 1 + h 1 , ., x n+1 + h n+1 ) − f(x 1 , ., x n+1 ) −
n+1
j=1
f(x 1 , ., x j−1 , h j , x j+1 , ., x n+1 ) =
f(x 1 + h 1 , ., x n + h n , x n+1 + h n+1 ) − f(x 1 + h 1 , ., x n + h n , x n+1 ) − f(x 1 , ., x n , h n+1 )
+f(x 1 + h 1 , ., x n + h n , x n+1 ) − f(x 1 , ., x n+1 ) −
n
j=1
f(x 1 , ., x j−1 , h j , x j+1 , ., x n+1 ).
Lorsqu’on divise cette égalité par (h 1 , . . . , h n , h n+1 ) E 1 ×···×E n+1 , qui par définition est supérieur à (h 1 , . . . , h n ) E 1 ×···×E n , la deuxième ligne du membre de
droite tend clairement vers 0, grâce à l’hypothèse de récurrence appliquée à
l’application n-linéaire (x 1 , . . . , x n ) → f(x 1 , . . . , x n , x n+1 ) . La première ligne
se réduit par multi-linéarité à :
f(x 1 + h 1 , . . . , x n + h n , h n+1 ) − f(x 1 , . . . , x n , h n+1 ) .
Or l’application
E 1 × · · · × E n →
L(E n+1 ; F)
(y 1 , . . . , y n ) → f(y 1 , . . . , y n , ·)
(où f(y 1 , . . . , y n , ·) désigne l’application linéaire h n+1 → f(y 1 , . . . , y n , h n+1 ))
est n-linéaire continue (de norme inférieure ou égale à celle de f). Donc pour
tout ´ > 0, il existe h > 0 tel que max j∈{1,··· ,n} h j E j ≤ h entraîne
f(x 1 + h 1 , . . . , x n + h n , h n+1 ) − f(x 1 , . . . , x n , h n+1 ) F ≤ ´ h n+1 E n+1 .