1.1 Introduction
11
Si de plus d f est continue, on dit que f est continûment différentiable, ou de façon
équivalente que f est de classe C
1 .
Remarque : Une erreur fréquente est de confondre d f et sa valeur en x, d f (x).
En particulier, la continuité de d f n’a rien à voir avec la continuité de d f (x),
cette dernière étant par définition linéaire continue. (Notons au passage que d f
n’a aucune raison d’être linéaire en général.) Ainsi, une fonction différentiable
n’est pas nécessairement de classe C
1 : un contre-exemple classique est la
fonction
f : R → R
x → f (x) :=
x
2 sin(1/x) si x = 0 ,
0
s ix = 0 ,
qui est dérivable y compris en 0 (de dérivée nulle) mais dont la dérivée n’a
pas de limite en 0. Or on va voir ci-après que les notions de dérivabilité et de
différentiabilité coïncident pour les fonctions d’une variable réelle.
1.1.2 Premiers exemples de fonctions différentiables
• Toute application constante est continûment différentiable, de différentielle nulle.
En effet, pour une fonction constante f , on a pour tout (x, h) ∈ U × E (avec
h assez petit pour que x + h ∈ U ), f (x + h) − f (x) = 0.
• Toute application linéaire continue est continûment différentiable, et sa différentielle est constante, égale à en tout point :
d(x) · h = (h) quels que soient x et h ∈ E .
En effet, par linéarité de , on a pour tout (x, h) ∈ E × E,
(x + h) − (x) − (h) = 0 .
• Plus généralement, toute application multi-linéaire continue est continûment
différentiable. Si f ∈ L(E 1 , . . . , E n ; F) alors sa différentielle est donnée par
df(x 1 , . . . , x n ) · (h 1 , . . . , h n ) =
n
j=1
f(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n ) . (1.2)
Dans cette écriture légèrement abusive, le premier terme de la somme est évidemment f(h 1 , x 2 , . . . , x n ) et le dernier f(x 1 , . . . , x n−1 , h n ).
Le cas n = 1 est celui des applications linéaires continues ! Voyons le cas n = 2.
Pour une application f bilinéaire :
f(x 1 + h 1 , x 2 + h 2 ) − f(x 1 , x 2 ) − f(h 1 , x 2 ) − f(x 1 , h 2 ) = f(h 1 , h 2 ) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
11
Si de plus d f est continue, on dit que f est continûment différentiable, ou de façon
équivalente que f est de classe C
1 .
Remarque : Une erreur fréquente est de confondre d f et sa valeur en x, d f (x).
En particulier, la continuité de d f n’a rien à voir avec la continuité de d f (x),
cette dernière étant par définition linéaire continue. (Notons au passage que d f
n’a aucune raison d’être linéaire en général.) Ainsi, une fonction différentiable
n’est pas nécessairement de classe C
1 : un contre-exemple classique est la
fonction
f : R → R
x → f (x) :=
x
2 sin(1/x) si x = 0 ,
0
s ix = 0 ,
qui est dérivable y compris en 0 (de dérivée nulle) mais dont la dérivée n’a
pas de limite en 0. Or on va voir ci-après que les notions de dérivabilité et de
différentiabilité coïncident pour les fonctions d’une variable réelle.
1.1.2 Premiers exemples de fonctions différentiables
• Toute application constante est continûment différentiable, de différentielle nulle.
En effet, pour une fonction constante f , on a pour tout (x, h) ∈ U × E (avec
h assez petit pour que x + h ∈ U ), f (x + h) − f (x) = 0.
• Toute application linéaire continue est continûment différentiable, et sa différentielle est constante, égale à en tout point :
d(x) · h = (h) quels que soient x et h ∈ E .
En effet, par linéarité de , on a pour tout (x, h) ∈ E × E,
(x + h) − (x) − (h) = 0 .
• Plus généralement, toute application multi-linéaire continue est continûment
différentiable. Si f ∈ L(E 1 , . . . , E n ; F) alors sa différentielle est donnée par
df(x 1 , . . . , x n ) · (h 1 , . . . , h n ) =
n
j=1
f(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n ) . (1.2)
Dans cette écriture légèrement abusive, le premier terme de la somme est évidemment f(h 1 , x 2 , . . . , x n ) et le dernier f(x 1 , . . . , x n−1 , h n ).
Le cas n = 1 est celui des applications linéaires continues ! Voyons le cas n = 2.
Pour une application f bilinéaire :
f(x 1 + h 1 , x 2 + h 2 ) − f(x 1 , x 2 ) − f(h 1 , x 2 ) − f(x 1 , h 2 ) = f(h 1 , h 2 ) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit