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1 • Différentiabilité
Il suffit en effet de poser ´(0 E ) = 0 et, si R > 0 est choisi de sorte que la boule
B(0 E ; R) (de centre 0 E de rayon R) soit incluse dans U (ce qui est possible car U
est ouvert), ´(h) := f (x + h) − f (x) − (h) F /h E pour 0 < h E < R. Cela
signifie que (h) « approche » la différence f (x + h) − f (x) lorsque h tend vers 0 E .
Proposition 1.2 Une fonction f : U → F différentiable en un point x ∈ U (au sens
de la définition 1.1) est nécessairement continue au point x.
Démonstration. En introduisant la fonction ´ comme ci-dessus, on a par
l’inégalité triangulaire
f (x + h) − f (x) F ≤ ´(h) h E + (h) F ,
où le membre de droite tend vers 0 lorsque h tend vers 0 E grâce à (1.1) et à
la continuité de en 0 E .
Remarque : Par un argument analogue, on obtient la continuité de si l’on
a celle de f . En effet, si f est continue en x et s’il existe (a priori seulement) linéaire telle que l’on ait (1.1), alors cette application est nécessairement
continue, car par l’inégalité triangulaire
(h) F ≤ ´(h) h E + f (x + h) − f (x)
tend vers 0 lorsque h tend vers 0 E . (On rappelle que la continuité d’une application linéaire équivaut à sa continuité en 0.)
Notation. Bien sûr, l’application dans la définition 1.1 dépend du point x. Il faut
donc adopter une notation faisant apparaître x. Afin de bien voir la différentielle d’une
fonction (dans la définition ci-après) comme une nouvelle fonction, nous choisissons
de noter = d f (x). La difficulté tient ici au fait que d f (x) est elle-même une
application. Cependant, comme elle est linéaire, nous noterons simplement (pour
éviter la juxtaposition de parenthèses) d f (x) · h la valeur prise par cette application
sur le vecteur h ∈ E. Ainsi, (1.1) se réécrit
lim
h
=
→0 E
f (x + h) − f (x) − d f (x) · h F
h E
= 0 .
L’application linéaire d f (x) est appelée différentielle de f au point x.
Définition 1.3 On dit que la fonction f est différentiable sur U si elle est différentiable en tout point x ∈ U . Dans ce cas, on appelle différentielle de f la fonction
d f : U → L(E; F)
x → d f (x)
.
1 • Différentiabilité
Il suffit en effet de poser ´(0 E ) = 0 et, si R > 0 est choisi de sorte que la boule
B(0 E ; R) (de centre 0 E de rayon R) soit incluse dans U (ce qui est possible car U
est ouvert), ´(h) := f (x + h) − f (x) − (h) F /h E pour 0 < h E < R. Cela
signifie que (h) « approche » la différence f (x + h) − f (x) lorsque h tend vers 0 E .
Proposition 1.2 Une fonction f : U → F différentiable en un point x ∈ U (au sens
de la définition 1.1) est nécessairement continue au point x.
Démonstration. En introduisant la fonction ´ comme ci-dessus, on a par
l’inégalité triangulaire
f (x + h) − f (x) F ≤ ´(h) h E + (h) F ,
où le membre de droite tend vers 0 lorsque h tend vers 0 E grâce à (1.1) et à
la continuité de en 0 E .
Remarque : Par un argument analogue, on obtient la continuité de si l’on
a celle de f . En effet, si f est continue en x et s’il existe (a priori seulement) linéaire telle que l’on ait (1.1), alors cette application est nécessairement
continue, car par l’inégalité triangulaire
(h) F ≤ ´(h) h E + f (x + h) − f (x)
tend vers 0 lorsque h tend vers 0 E . (On rappelle que la continuité d’une application linéaire équivaut à sa continuité en 0.)
Notation. Bien sûr, l’application dans la définition 1.1 dépend du point x. Il faut
donc adopter une notation faisant apparaître x. Afin de bien voir la différentielle d’une
fonction (dans la définition ci-après) comme une nouvelle fonction, nous choisissons
de noter = d f (x). La difficulté tient ici au fait que d f (x) est elle-même une
application. Cependant, comme elle est linéaire, nous noterons simplement (pour
éviter la juxtaposition de parenthèses) d f (x) · h la valeur prise par cette application
sur le vecteur h ∈ E. Ainsi, (1.1) se réécrit
lim
h
=
→0 E
f (x + h) − f (x) − d f (x) · h F
h E
= 0 .
L’application linéaire d f (x) est appelée différentielle de f au point x.
Définition 1.3 On dit que la fonction f est différentiable sur U si elle est différentiable en tout point x ∈ U . Dans ce cas, on appelle différentielle de f la fonction
d f : U → L(E; F)
x → d f (x)
.