Chapitre 1
Différentiabilité
Ce chapitre est consacré à la notion de différentiabilité et aux théorèmes fondamentaux
qui lui sont attachés.
1.1 INTRODUCTION
1.1.1 Fonctions différentiables, fonctions de classe C
1
On suppose que U est un ouvert non vide d’un R-espace vectoriel normé E, et l’on
considère une fonction
f : U → F ,
où F est un autre espace vectoriel normé. Le fait que U soit ouvert permettra de
considérer les valeurs de f au voisinage de tout point de U . Si cela n’était pas le cas,
il faudrait restreindre la définition qui suit aux points intérieurs à U . On rappelle que
L(E; F) désigne l’espace des applications linéaires continues de E dans F.
Définition 1.1 La fonction f est différentiable en un point x ∈ U s’il existe ∈
L(E; F) tel que
lim
h
=
→0 E
f (x + h) − f (x) − (h) F
h E
= 0 .
(1.1)
Autrement dit, f est différentiable en x s’il existe une application linéaire continue
∈ L(E; F), R > 0 et une application ´ : B(0 E ; R) → R
+ tendant vers 0 en 0 E telles
que pour tout h ∈ B(0 E ; R),
f (x + h) − f (x) − (h) F = ´(h) h E .