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1 • Différentiabilité
Cette formule (divergence d’un champ de vecteurs à symétrie sphérique) est
couramment utilisée en physique sous la forme
div u = U
(r ) +
n − 1
r
U (r ) .
Exercice 1.2 En tant que fonction rationnelle dont le seul pôle est (0, 0), la
fonction f est de classe C
∞ en dehors de (0, 0). Comme de plus | f (x, y)| ≤ |x|, elle
est continue en (0, 0). Elle est en outre homogène de degré 1, c’est-à-dire que pour
tout t ∈ R, f (t x, t y) = t f (x, y). Cela implique qu’elle est dérivable dans la direction
(x, y), de dérivée f (x, y), qui n’est pas une fonction linéaire de (x, y). Donc f n’est
pas différentiable en (0, 0).
Exercice 1.3 La fonction F est de classe C
1 car ses composantes le sont (la
première est linéaire sur R
2 et la deuxième est la somme de (x, y) → f (x) et (x, y) →
g(y), composées respectivement de (x, y) → x et f , et de (x, y) → y et g). Pour tous
(x, y) ∈ R
2 et (h, k) ∈ R
2 ,
dF(x, y) · (h, k) = (h + k, f
(x)h + g
(y)k) .
On vérifie que dF(x, y) est injective car dF(x, y) · (h, k) = 0 équivaut à h + k = 0 et
f
(x)h + g
(y)k = 0 ; comme par hypothèse f
(x) = g
(y), ceci implique h = k = 0.
Donc dF(x, y) est un isomorphisme de R
2 . En outre, F elle-même est injective car si
F(x 1 , y 1 ) = F(x 2 , y 2 ), on a x 1 − x 2 = y 2 − y 1 et f (x 1 ) − f (x 2 ) = g(y 2 ) − g(y 1 ). Or
d’après la formule des accroissements finis, il existe x et y tels que
f (x 1 ) − f (x 2 ) = f
(x) (x 1 − x 2 ) , g(y 2 ) − g(y 1 ) = g
(y) (y 2 − y 1 ) .
Comme par hypothèse f
(x) = g
(y), on en déduit x 1 = x 2 et y 1 = y 2 . Donc d’après
le théorème d’inversion globale (corollaire 1.18), F est un difféorpmorphisme de R
2
sur son image.
Exercice 1.4
i). La fonction f , resp. g, est de classe C
1 comme composée de l’application linéaire
(x, y) → x + y, resp. l’application bilinéaire (x, y) → x y, avec t →
t
0
w(u) du,
dont la dérivée w est continue par hypothèse. Leurs différentielles s’obtiennent
par la formule (1.4) :
d f (x, y) · (h, k) = w(x + y) (h + k) , dg(x, y) · (h, k) = w(x y) (xk + yh)
quels que soient (x, y) ∈ R
2 et (h, k) ∈ R
2 .
1 • Différentiabilité
Cette formule (divergence d’un champ de vecteurs à symétrie sphérique) est
couramment utilisée en physique sous la forme
div u = U
(r ) +
n − 1
r
U (r ) .
Exercice 1.2 En tant que fonction rationnelle dont le seul pôle est (0, 0), la
fonction f est de classe C
∞ en dehors de (0, 0). Comme de plus | f (x, y)| ≤ |x|, elle
est continue en (0, 0). Elle est en outre homogène de degré 1, c’est-à-dire que pour
tout t ∈ R, f (t x, t y) = t f (x, y). Cela implique qu’elle est dérivable dans la direction
(x, y), de dérivée f (x, y), qui n’est pas une fonction linéaire de (x, y). Donc f n’est
pas différentiable en (0, 0).
Exercice 1.3 La fonction F est de classe C
1 car ses composantes le sont (la
première est linéaire sur R
2 et la deuxième est la somme de (x, y) → f (x) et (x, y) →
g(y), composées respectivement de (x, y) → x et f , et de (x, y) → y et g). Pour tous
(x, y) ∈ R
2 et (h, k) ∈ R
2 ,
dF(x, y) · (h, k) = (h + k, f
(x)h + g
(y)k) .
On vérifie que dF(x, y) est injective car dF(x, y) · (h, k) = 0 équivaut à h + k = 0 et
f
(x)h + g
(y)k = 0 ; comme par hypothèse f
(x) = g
(y), ceci implique h = k = 0.
Donc dF(x, y) est un isomorphisme de R
2 . En outre, F elle-même est injective car si
F(x 1 , y 1 ) = F(x 2 , y 2 ), on a x 1 − x 2 = y 2 − y 1 et f (x 1 ) − f (x 2 ) = g(y 2 ) − g(y 1 ). Or
d’après la formule des accroissements finis, il existe x et y tels que
f (x 1 ) − f (x 2 ) = f
(x) (x 1 − x 2 ) , g(y 2 ) − g(y 1 ) = g
(y) (y 2 − y 1 ) .
Comme par hypothèse f
(x) = g
(y), on en déduit x 1 = x 2 et y 1 = y 2 . Donc d’après
le théorème d’inversion globale (corollaire 1.18), F est un difféorpmorphisme de R
2
sur son image.
Exercice 1.4
i). La fonction f , resp. g, est de classe C
1 comme composée de l’application linéaire
(x, y) → x + y, resp. l’application bilinéaire (x, y) → x y, avec t →
t
0
w(u) du,
dont la dérivée w est continue par hypothèse. Leurs différentielles s’obtiennent
par la formule (1.4) :
d f (x, y) · (h, k) = w(x + y) (h + k) , dg(x, y) · (h, k) = w(x y) (xk + yh)
quels que soient (x, y) ∈ R
2 et (h, k) ∈ R
2 .