Solution des exercices
295
Exercice 8.4
i). Dans le plan de phase, (E g,a ) s’écrit
(P g,a )
x
= v ,
v
= g(1 − x
2 )v − x + a .
ii). La jacobienne de C est triangulaire inférieure de coefficients diagonaux égaux
à 1, donc inversible en tout point. De plus, C est bijective car C(x, y) = (j, v)
équivaut à x = j et y = v − g(j − j
3 /3).
iii). Si u = (x, v) est solution de (P g,a ) alors
u := (x, y := v − g(x − x
3 /3))
(coordonnées de Liénard) est solution de
(L g,a )
x
= y + g(x − x
3 /3) ,
y
= −x + a ,
et réciproquement.
iv). C’est un résultat général : d’après la formule de dérivation des fonctions composées, si u est solution de u
= f (u) et u = C ◦
u alors
u est solution de
u
= g( u) := (dC( u))
−1 f (C( u)). Ainsi C est (naturellement) une bijection
entre les points singuliers (c’est-à-dire les zéros) de f et de g. Quant à leur
nature, elle est déterminée par les valeurs propres de d f (u) et de dg( u), qui se
réduit à (dC( u))
−1 d f (C( u))dC( u) si f (u) = 0, c’est-à-dire que d f (u) et dg( u)
sont conjuguées : elles ont donc mêmes valeurs propres.
v). Concentrons nous sur le système (L g,a ), d’une certaine façon plus simple que
(P g,a ) (qui a été étudié à l’exercice 7.9 dans le cas g = ´ > 0 petit et a = 0).
Les changements de direction du champ de vecteur ont lieu sur l’axe Oy (au lieu
de l’axe Ox dans le plan de phase), et surtout sur la courbe régulière d’équation
y = g(x
3 /3 − x) (au lieu de celle d’équation g(1 − x
2 )v − x + a, qui a des
asymptotes en x = ±1). Le seul point fixe est A := (a, g(a
3 /3 − a)), le système
linéarisé en ce point étant x
= y + g(1 − a
2 )x, y
= −x. Si g
2 (1 − a
2 )
2 > 4,
le point A est un nœud (attractif si g(1 − a
2 ) < 0 ou répulsif si g(1 − a
2 ) > 0).
Si g
2 (1 − a
2 )
2 < 4, c’est un puits de plus g(1 − a
2 ) < 0, ou une source si
g(1 − a
2 ) > 0. Le cas g(1 − a
2 ) = 0 correspond à une bifurcation de Hopf, où
les valeurs propres traversent l’axe imaginaire.
Exercice 8.5
i). Les points critiques du système (VdP) sont caractérisés par x = 0 et y = x − x
3 :
il n’y a donc que le point (0, 0) t . La matrice du système linéarisé en ce point est
A =
−1 1
−1 0
,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Exercice 8.4
i). Dans le plan de phase, (E g,a ) s’écrit
(P g,a )
x
= v ,
v
= g(1 − x
2 )v − x + a .
ii). La jacobienne de C est triangulaire inférieure de coefficients diagonaux égaux
à 1, donc inversible en tout point. De plus, C est bijective car C(x, y) = (j, v)
équivaut à x = j et y = v − g(j − j
3 /3).
iii). Si u = (x, v) est solution de (P g,a ) alors
u := (x, y := v − g(x − x
3 /3))
(coordonnées de Liénard) est solution de
(L g,a )
x
= y + g(x − x
3 /3) ,
y
= −x + a ,
et réciproquement.
iv). C’est un résultat général : d’après la formule de dérivation des fonctions composées, si u est solution de u
= f (u) et u = C ◦
u alors
u est solution de
u
= g( u) := (dC( u))
−1 f (C( u)). Ainsi C est (naturellement) une bijection
entre les points singuliers (c’est-à-dire les zéros) de f et de g. Quant à leur
nature, elle est déterminée par les valeurs propres de d f (u) et de dg( u), qui se
réduit à (dC( u))
−1 d f (C( u))dC( u) si f (u) = 0, c’est-à-dire que d f (u) et dg( u)
sont conjuguées : elles ont donc mêmes valeurs propres.
v). Concentrons nous sur le système (L g,a ), d’une certaine façon plus simple que
(P g,a ) (qui a été étudié à l’exercice 7.9 dans le cas g = ´ > 0 petit et a = 0).
Les changements de direction du champ de vecteur ont lieu sur l’axe Oy (au lieu
de l’axe Ox dans le plan de phase), et surtout sur la courbe régulière d’équation
y = g(x
3 /3 − x) (au lieu de celle d’équation g(1 − x
2 )v − x + a, qui a des
asymptotes en x = ±1). Le seul point fixe est A := (a, g(a
3 /3 − a)), le système
linéarisé en ce point étant x
= y + g(1 − a
2 )x, y
= −x. Si g
2 (1 − a
2 )
2 > 4,
le point A est un nœud (attractif si g(1 − a
2 ) < 0 ou répulsif si g(1 − a
2 ) > 0).
Si g
2 (1 − a
2 )
2 < 4, c’est un puits de plus g(1 − a
2 ) < 0, ou une source si
g(1 − a
2 ) > 0. Le cas g(1 − a
2 ) = 0 correspond à une bifurcation de Hopf, où
les valeurs propres traversent l’axe imaginaire.
Exercice 8.5
i). Les points critiques du système (VdP) sont caractérisés par x = 0 et y = x − x
3 :
il n’y a donc que le point (0, 0) t . La matrice du système linéarisé en ce point est
A =
−1 1
−1 0
,
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