294
8 • Stabilité des solutions stationnaires
Ceci montre que le disque D est positivement invariant par le flot et que H est
une fonction de Lyapunov.
iii). D’après ce qui précède, si (x 0 , y 0 ) ∈ D alors L v (x 0 , y 0 ) ⊂ D, et donc L v (x 0 , y 0 )
est compact et non-vide.
iv). Le système (S) n’admet pas de cycle dans D car H décroît strictement en dehors
de l’axe Oy le long des orbites incluses dans D.
v). On en déduit que L v (x 0 , y 0 ) = {(0, 0) t } comme dans le premier exercice. C’est
un résultat est plus fort que la stabilité asymptotique de (0, 0) t car il montre
que les orbites de tous les points de D (et pas seulement ceux voisins de (0, 0) t )
convergent vers (0, 0) t .
Exercice 8.3
i). Les points fixes de (S) sont caractérisés par y(x − 1) = 0 et x
2
− y
2 + 2x = 0,
ce qui donne quatre points : O := (0, 0), A := (−2, 0), B := (1, −
√
3) et
C := (1,
√
3). Le système linéarisé autour du premier est x
= −y, y
= x, dont
les valeurs propres sont ±i : ceci correspond à un centre, Les trois autres sont
des points selle, de valeurs propres ±
√
3. (Le linéarisé en (−2, 0) est x
= −3y,
y
= −x, et en (1, ±
√
3) c’est x
= ±x
√
3, y
= 2x ∓ y
√
3.)
ii). La courbe stable en (1,
√
3) a une tangente verticale (direction du vecteur propre
associé à la valeur propre négative −
√
3), de même que la courbe instable en
(1, −
√
3). Or la droite d’équation x = 1 est invariante par le flot, puisque le
champ de vecteurs est vertical sur cette droite. Donc la courbe stable de (1,
√
3)
et la courbe instable de (1, −
√
3) coïncident avec cette droite. On remarque que
les droites passant par (−2, 0) et (1, ±
√
3) sont aussi invariantes par le flot (si
y = ±(x + 2)
√
3 alors x + (x
2
− y
2 )/2 = ±(−y + x y)
√
3) : ce sont les courbes
stable (signe +) et instable (signe −) de (−2, 0), et aussi la courbe instable (signe
+) de (1,
√
3) et la courbe stable (signe −) de −(1,
√
3). En fait, le système est
invariant par la rotation d’angle 2p/3 : ceci se voit facilement en l’écrivant sous
forme complexe, z
= i(z + z
2 /2), car ladite rotation revient à une multiplication
par j := (−1 + i
√
3)/2 = j
2 ).
iii). On trouve par intégration en y puis en x que H (x, y) :=
1
2 (x − 1)y
2
−
1
2 x
2
−
1
6 x
3
définit une intégrale première comme demandé. (Notons que H est
bien invariante par la rotation mentionnée ci-dessus, car H (x, y) =
2
3 (Re z) Re ( j z) Re ( j
2 z) −
1
2 |z|
2 .)
iv). Comme dH (0, 0) ≡ 0 et d
2 H (0, 0) = −I 2 , H a un maximum local strict en
(0, 0).
v). D’après l’invariance par la rotation d’angle 2p/3, les orbites à l’intérieur du
triangle ABC sont des cycles. Les orbites à l’extérieur sont non bornées.
8 • Stabilité des solutions stationnaires
Ceci montre que le disque D est positivement invariant par le flot et que H est
une fonction de Lyapunov.
iii). D’après ce qui précède, si (x 0 , y 0 ) ∈ D alors L v (x 0 , y 0 ) ⊂ D, et donc L v (x 0 , y 0 )
est compact et non-vide.
iv). Le système (S) n’admet pas de cycle dans D car H décroît strictement en dehors
de l’axe Oy le long des orbites incluses dans D.
v). On en déduit que L v (x 0 , y 0 ) = {(0, 0) t } comme dans le premier exercice. C’est
un résultat est plus fort que la stabilité asymptotique de (0, 0) t car il montre
que les orbites de tous les points de D (et pas seulement ceux voisins de (0, 0) t )
convergent vers (0, 0) t .
Exercice 8.3
i). Les points fixes de (S) sont caractérisés par y(x − 1) = 0 et x
2
− y
2 + 2x = 0,
ce qui donne quatre points : O := (0, 0), A := (−2, 0), B := (1, −
√
3) et
C := (1,
√
3). Le système linéarisé autour du premier est x
= −y, y
= x, dont
les valeurs propres sont ±i : ceci correspond à un centre, Les trois autres sont
des points selle, de valeurs propres ±
√
3. (Le linéarisé en (−2, 0) est x
= −3y,
y
= −x, et en (1, ±
√
3) c’est x
= ±x
√
3, y
= 2x ∓ y
√
3.)
ii). La courbe stable en (1,
√
3) a une tangente verticale (direction du vecteur propre
associé à la valeur propre négative −
√
3), de même que la courbe instable en
(1, −
√
3). Or la droite d’équation x = 1 est invariante par le flot, puisque le
champ de vecteurs est vertical sur cette droite. Donc la courbe stable de (1,
√
3)
et la courbe instable de (1, −
√
3) coïncident avec cette droite. On remarque que
les droites passant par (−2, 0) et (1, ±
√
3) sont aussi invariantes par le flot (si
y = ±(x + 2)
√
3 alors x + (x
2
− y
2 )/2 = ±(−y + x y)
√
3) : ce sont les courbes
stable (signe +) et instable (signe −) de (−2, 0), et aussi la courbe instable (signe
+) de (1,
√
3) et la courbe stable (signe −) de −(1,
√
3). En fait, le système est
invariant par la rotation d’angle 2p/3 : ceci se voit facilement en l’écrivant sous
forme complexe, z
= i(z + z
2 /2), car ladite rotation revient à une multiplication
par j := (−1 + i
√
3)/2 = j
2 ).
iii). On trouve par intégration en y puis en x que H (x, y) :=
1
2 (x − 1)y
2
−
1
2 x
2
−
1
6 x
3
définit une intégrale première comme demandé. (Notons que H est
bien invariante par la rotation mentionnée ci-dessus, car H (x, y) =
2
3 (Re z) Re ( j z) Re ( j
2 z) −
1
2 |z|
2 .)
iv). Comme dH (0, 0) ≡ 0 et d
2 H (0, 0) = −I 2 , H a un maximum local strict en
(0, 0).
v). D’après l’invariance par la rotation d’angle 2p/3, les orbites à l’intérieur du
triangle ABC sont des cycles. Les orbites à l’extérieur sont non bornées.