Solution des exercices
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SOLUTION DES EXERCICES
Exercice 8.1 Comme on l’a vu plus haut (remarque 8.6), la fonction E : (x, v) →
1
2 v
2
− cos x est une fonction de Lyapunov en (0, 0) pour le système (PA). Donc
d’après le théorème 8.3, (0, 0) est un point d’équilibre stable. Pour démontrer qu’il est
asymptotiquement stable, puisque E n’est pas une fonction de Lyapunov forte, il faut
faire appel à d’autres arguments (le principe d’invariance de LaSalle en référence à
[19]). On va obtenir un résultat plus global en faisant appel au théorème de PoincaréBendixson. Notons F t le flot de (PA). Si (x 0 , v 0 ) appartient à la composante connexe
de (0, 0) dans l’ouvert {(x, v) ; E(x, v) < 1} (incluse dans ] − p, p[×] − 2, 2[ et en
forme d’œil : voir la figure 7.3, où apparaissent les courbes de niveau remarquables
de E), alors pour tout t ≥ 0, F t (x 0 , v 0 ) appartient au compact K : = {(x, v) ∈
] − p, p[×] − 2, 2[ ; E(x, v) ≤ E(x 0 , v 0 )}. Donc l’ensemble {F t (x 0 , v 0 ) ; t ≥ 0} est
relativement compact, et par suite (d’après la proposition 7.17) l’ensemble v-limite
L v (x 0 , v 0 ) est compact non vide. D’après le théorème 7.19, si L v (x 0 , v 0 ) ne contenait
pas de point fixe, ce serait un cycle. Or le système (PA) n’admet pas de cycle (pour
k > 0) : si t → (x(t), v(t)) était une solution périodique de période T , on aurait
E(x(T ), v(T )) = E(x(0), v(0)) et la fonction monotone t → E(x(t), v(t)) serait donc
constante ; on aurait donc
0 =
d
dt
E(x(t), v(t)) = −k v(t)
2
et par conséquent v(t) = 0 quel que soit t, et x serait constante. C’est donc que
L v (x 0 , v 0 ) contient au moins un point fixe. Comme (0, 0) est le seul point fixe dans
K, (0, 0) ∈ L v (x 0 , v 0 ). De plus, L v (x 0 , v 0 ) doit être inclus dans K et, d’après la
proposition 7.16, dans un ensemble de niveau de E. Or
{(0, 0)} = K ∩ {(x, v) ; E(x, v) = E(0, 0)} ,
donc L v (x 0 , v 0 ) est en fait réduit à {(0, 0)}. Ceci implique que F t (x 0 , v 0 ) converge
vers (0, 0) lorsque t tend vers +∞.
Exercice 8.2
i). Le système (S) coïncide avec celui de l’exercice 7.9 dans le cas particulier ´ = 1.
On a vu à cette occasion que le point (0, 0) était un puits, c’est pourquoi il est
asymptotiquement stable.
ii). La fonction H a évidemment un minimum (global) strict en (0, 0). De plus, le
long d’une solution on a H (x, y)
= y
2 (x
2
− 1) ≤ 0 tant que (x(t), y(t)) ∈ D.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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SOLUTION DES EXERCICES
Exercice 8.1 Comme on l’a vu plus haut (remarque 8.6), la fonction E : (x, v) →
1
2 v
2
− cos x est une fonction de Lyapunov en (0, 0) pour le système (PA). Donc
d’après le théorème 8.3, (0, 0) est un point d’équilibre stable. Pour démontrer qu’il est
asymptotiquement stable, puisque E n’est pas une fonction de Lyapunov forte, il faut
faire appel à d’autres arguments (le principe d’invariance de LaSalle en référence à
[19]). On va obtenir un résultat plus global en faisant appel au théorème de PoincaréBendixson. Notons F t le flot de (PA). Si (x 0 , v 0 ) appartient à la composante connexe
de (0, 0) dans l’ouvert {(x, v) ; E(x, v) < 1} (incluse dans ] − p, p[×] − 2, 2[ et en
forme d’œil : voir la figure 7.3, où apparaissent les courbes de niveau remarquables
de E), alors pour tout t ≥ 0, F t (x 0 , v 0 ) appartient au compact K : = {(x, v) ∈
] − p, p[×] − 2, 2[ ; E(x, v) ≤ E(x 0 , v 0 )}. Donc l’ensemble {F t (x 0 , v 0 ) ; t ≥ 0} est
relativement compact, et par suite (d’après la proposition 7.17) l’ensemble v-limite
L v (x 0 , v 0 ) est compact non vide. D’après le théorème 7.19, si L v (x 0 , v 0 ) ne contenait
pas de point fixe, ce serait un cycle. Or le système (PA) n’admet pas de cycle (pour
k > 0) : si t → (x(t), v(t)) était une solution périodique de période T , on aurait
E(x(T ), v(T )) = E(x(0), v(0)) et la fonction monotone t → E(x(t), v(t)) serait donc
constante ; on aurait donc
0 =
d
dt
E(x(t), v(t)) = −k v(t)
2
et par conséquent v(t) = 0 quel que soit t, et x serait constante. C’est donc que
L v (x 0 , v 0 ) contient au moins un point fixe. Comme (0, 0) est le seul point fixe dans
K, (0, 0) ∈ L v (x 0 , v 0 ). De plus, L v (x 0 , v 0 ) doit être inclus dans K et, d’après la
proposition 7.16, dans un ensemble de niveau de E. Or
{(0, 0)} = K ∩ {(x, v) ; E(x, v) = E(0, 0)} ,
donc L v (x 0 , v 0 ) est en fait réduit à {(0, 0)}. Ceci implique que F t (x 0 , v 0 ) converge
vers (0, 0) lorsque t tend vers +∞.
Exercice 8.2
i). Le système (S) coïncide avec celui de l’exercice 7.9 dans le cas particulier ´ = 1.
On a vu à cette occasion que le point (0, 0) était un puits, c’est pourquoi il est
asymptotiquement stable.
ii). La fonction H a évidemment un minimum (global) strict en (0, 0). De plus, le
long d’une solution on a H (x, y)
= y
2 (x
2
− 1) ≤ 0 tant que (x(t), y(t)) ∈ D.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit