296
8 • Stabilité des solutions stationnaires
dont les valeurs propres sont (−1 ± i
√
3)/2 : ce point est donc hyperbolique, et
c’est plus précisément un puits.
ii). L’orientation du champ de vecteurs (x, y) → (y − x + x
3 , −x) dépend de
la position de (x, y) par rapport à l’axe de y (lieu des points où le champ est
horizontal) et par rapport à la courbe C d’équation y = x − x
3 (lieu des points
où les champ est vertical), voir la figure 8.5.
y
x
Figure 8.5 Orientation du champ de vecteurs (x, y) → (y − x + x
3 , −x).
iii). Le fait que chaque courbe intégrale rencontre successivement les quatre zones
délimitées par l’axe des y et la courbe C se montre par un raisonnement analogue
à celui effectué pour le système de Lotka-Volterra (voir l’exercice 7.5, solution
p. 248).
iv). La fonction E : (x, y) → x
2 + y
2 a un minimum global strict en (0, 0). De plus,
si t → (x(t), y(t)) est solution de (VdP) alors
d
dt
x(t)
2 + y(t)
2
= − 2 x
2 (1 − x
2 ) ≤ 0
dans la bande B := {(x, y) ; |x| ≤ 1}, qui contient le disque D = {(x, y) ; x
2 +
y
2 < 1}. Ceci montre à la fois que E est une fonction de Lyapunov en (0, 0)
pour le système (VdP), et que le D est positivement invariant par le flot (puisque
E décroit le long des orbites des points de D).
v). Pour (x 0 , y 0 ) ∈ D, on montre comme dans l’exercice 8.1 (solution p. 293) que
l’ensemble v-limite L v (x 0 , y 0 ) se réduit à {(0, 0)}.
vi). Si l’on note F t le flot de (VdP), d’après la question iii) pour tout y 0 ∈ R
+∗ ,
il existe t c = t c (y 0 ) > 0 et t 2 = t 2 (y 0 ) > 0 tels que pour t ∈]0, t c [, F t (0, y 0 )
appartienne à la région du plan au dessus de C et à droite de l’axe des y, pour
t ∈]t c , t 2 [ appartienne à la région du plan en dessous de C et à droite de l’axe des
y, et F t 2 (0, y 0 ) appartienne à l’axe des y. On définit alors a(y 0 ) := F t 2 (0, y 0 ).
8 • Stabilité des solutions stationnaires
dont les valeurs propres sont (−1 ± i
√
3)/2 : ce point est donc hyperbolique, et
c’est plus précisément un puits.
ii). L’orientation du champ de vecteurs (x, y) → (y − x + x
3 , −x) dépend de
la position de (x, y) par rapport à l’axe de y (lieu des points où le champ est
horizontal) et par rapport à la courbe C d’équation y = x − x
3 (lieu des points
où les champ est vertical), voir la figure 8.5.
y
x
Figure 8.5 Orientation du champ de vecteurs (x, y) → (y − x + x
3 , −x).
iii). Le fait que chaque courbe intégrale rencontre successivement les quatre zones
délimitées par l’axe des y et la courbe C se montre par un raisonnement analogue
à celui effectué pour le système de Lotka-Volterra (voir l’exercice 7.5, solution
p. 248).
iv). La fonction E : (x, y) → x
2 + y
2 a un minimum global strict en (0, 0). De plus,
si t → (x(t), y(t)) est solution de (VdP) alors
d
dt
x(t)
2 + y(t)
2
= − 2 x
2 (1 − x
2 ) ≤ 0
dans la bande B := {(x, y) ; |x| ≤ 1}, qui contient le disque D = {(x, y) ; x
2 +
y
2 < 1}. Ceci montre à la fois que E est une fonction de Lyapunov en (0, 0)
pour le système (VdP), et que le D est positivement invariant par le flot (puisque
E décroit le long des orbites des points de D).
v). Pour (x 0 , y 0 ) ∈ D, on montre comme dans l’exercice 8.1 (solution p. 293) que
l’ensemble v-limite L v (x 0 , y 0 ) se réduit à {(0, 0)}.
vi). Si l’on note F t le flot de (VdP), d’après la question iii) pour tout y 0 ∈ R
+∗ ,
il existe t c = t c (y 0 ) > 0 et t 2 = t 2 (y 0 ) > 0 tels que pour t ∈]0, t c [, F t (0, y 0 )
appartienne à la région du plan au dessus de C et à droite de l’axe des y, pour
t ∈]t c , t 2 [ appartienne à la région du plan en dessous de C et à droite de l’axe des
y, et F t 2 (0, y 0 ) appartienne à l’axe des y. On définit alors a(y 0 ) := F t 2 (0, y 0 ).