Exercices
291
iii). Montrer que chaque courbe intégrale rencontre successivement les quatre zones
en question.
iv). Montrer que (x, y) → x
2 + y
2 est une fonction de Lyapunov en (0, 0) pour
le système (VdP), et que le disque ouvert D = {(x, y) ; x
2 + y
2 < 1} est
positivement invariant par le flot de ce système.
v). Montrer que pour tout (x 0 , y 0 ) ∈ D, la solution de (VdP) telle que x(0) = x 0 et
y(0) = x 0 tend vers (0, 0) en +∞.
vi). Montrer qu’il existe une application continue a : R
+∗
→ R
−∗ telle que pour tout
y 0 ∈ R
+∗ , l’orbite positive du point (0, y 0 ), c’est-à-dire {(x(t), y(t) ; t ≥ 0} où
(x, y) est la solution de (VdP) telle que x(0) = 0 et y(0) = x 0 , recoupe pour la
première fois l’axe des y au point (0, a(y 0 )).
vii). Exprimer d( p) := a( p)
2
− p
2 sous forme intégrale.
viii). Grâce au théorème des valeurs intermédiaires, montrer que la fonction d s’annule
en un point p ∗ ∈ R
+∗ .
ix). Montrer que l’orbite de (0, p ∗ ) est un cycle.
Exercice 8.6 On considère l’EDP de réaction-diffusion appelée équation de
Fisher
∂ t u = k∂
2
xx u + au(1 − u) ,
(8.11)
(modélisant par exemple l’évolution d’une population de concentration u, diffusant
avec un coefficient de diffusion k, réagissant selon un taux de croissance linéaire
a et un terme de modération −au
2 analogue à ceux de l’exercice 7.6). Le but est
de démontrer l’existence de solutions ondes progressives de (8.11), c’est-à-dire ne
dépendant que de x − st pour certaines valeurs de la vitesse s > 0, ayant pour
comportements asymptotiques :
lim
x→−∞
u(x, t) = 1 ,
lim
x→+∞
u(x, t) = 0
(ces solutions représentent l’« envahissement » de l’espace par la population).
i). Montrer qu’une telle onde progressive existe si et seulement le système
v
= u , u
= −cv + u(u − 1) ,
(8.12)
où l’on exprimera c en fonction de s, k et a, admet des orbites hétéroclines
reliant (1, 0) à (0, 0).
ii). Donner la nature des points fixes (1, 0) et (0, 0) selon les valeurs de c, et en
déduire une condition nécessaire sur c pour qu’il existe une orbite hétérocline de
(8.12) reliant (1, 0) à (0, 0) dans le demi-plan {(u, v) ; u ≥ 0}.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
291
iii). Montrer que chaque courbe intégrale rencontre successivement les quatre zones
en question.
iv). Montrer que (x, y) → x
2 + y
2 est une fonction de Lyapunov en (0, 0) pour
le système (VdP), et que le disque ouvert D = {(x, y) ; x
2 + y
2 < 1} est
positivement invariant par le flot de ce système.
v). Montrer que pour tout (x 0 , y 0 ) ∈ D, la solution de (VdP) telle que x(0) = x 0 et
y(0) = x 0 tend vers (0, 0) en +∞.
vi). Montrer qu’il existe une application continue a : R
+∗
→ R
−∗ telle que pour tout
y 0 ∈ R
+∗ , l’orbite positive du point (0, y 0 ), c’est-à-dire {(x(t), y(t) ; t ≥ 0} où
(x, y) est la solution de (VdP) telle que x(0) = 0 et y(0) = x 0 , recoupe pour la
première fois l’axe des y au point (0, a(y 0 )).
vii). Exprimer d( p) := a( p)
2
− p
2 sous forme intégrale.
viii). Grâce au théorème des valeurs intermédiaires, montrer que la fonction d s’annule
en un point p ∗ ∈ R
+∗ .
ix). Montrer que l’orbite de (0, p ∗ ) est un cycle.
Exercice 8.6 On considère l’EDP de réaction-diffusion appelée équation de
Fisher
∂ t u = k∂
2
xx u + au(1 − u) ,
(8.11)
(modélisant par exemple l’évolution d’une population de concentration u, diffusant
avec un coefficient de diffusion k, réagissant selon un taux de croissance linéaire
a et un terme de modération −au
2 analogue à ceux de l’exercice 7.6). Le but est
de démontrer l’existence de solutions ondes progressives de (8.11), c’est-à-dire ne
dépendant que de x − st pour certaines valeurs de la vitesse s > 0, ayant pour
comportements asymptotiques :
lim
x→−∞
u(x, t) = 1 ,
lim
x→+∞
u(x, t) = 0
(ces solutions représentent l’« envahissement » de l’espace par la population).
i). Montrer qu’une telle onde progressive existe si et seulement le système
v
= u , u
= −cv + u(u − 1) ,
(8.12)
où l’on exprimera c en fonction de s, k et a, admet des orbites hétéroclines
reliant (1, 0) à (0, 0).
ii). Donner la nature des points fixes (1, 0) et (0, 0) selon les valeurs de c, et en
déduire une condition nécessaire sur c pour qu’il existe une orbite hétérocline de
(8.12) reliant (1, 0) à (0, 0) dans le demi-plan {(u, v) ; u ≥ 0}.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit