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8 • Stabilité des solutions stationnaires
ii). Montrer que les courbes stables et instables des points fixes hyperboliques sont
des droites.
iii). Montrer que (S) admet une intégrale première H telle que
∂ H
∂ y
= −y + x y .
iv). Montrer que H admet un maximum local en (0, 0).
v). Tracer (qualitativement) le portrait de phase de (S).
Exercice 8.4 Soient g ≥ 0 et a ≥ 0. On considère l’équation différentielle
scalaire
(E g,a )
d
2 x
dt 2 + g (x
2
− 1)
dx
dt
+ x = a .
i). Écrire (E g,a ) sous forme d’un système du premier ordre (P g,a ) dans le plan de
phase.
ii). Montrer que l’application C : (x, y) → (x, y + g (x − x
3 /3) ) est un difféormorphisme de R
2 .
iii). Soit u ∈ C
1 (J ; R
2 ) une solution de (P g,a ). Montrer que la fonction C
−1
◦ u est
solution d’un système (L g,a ) que l’on explicitera.
iv). Démontrer que les points fixes de (P g,a ) et de (L g,a ) sont en bijection et sont de
même nature.
v). Déterminer ces points fixes et leur nature selon les valeurs des paramètres g et a.
Donner notamment des valeurs de g et a pour lesquelles les systèmes présentent
une bifurcation de Hopf.
Exercice 8.5 On considère le système de van der Pol
(VdP)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= y − x + x
3 ,
dy
dt
= − x ,
modélisant un circuit RLC (voir §5.1.2, chapitre 5) dans lequel la loi d’Ohm généralisée est (en variables adimensionnées) F(x) = x − x
3 .
i). Déterminer les points critiques du système (VdP) et leur nature.
ii). Représenter, dans quatre régions remarquables du plan {(x, y) ∈ R
2
} que l’on
précisera, l’orientation du champ de vecteurs correspondant .