Exercices
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EXERCICES
Exercice 8.1 Soient k > 0 et le système
(PA)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dx
dt
= v ,
dv
dt
= − k v − sin x .
(C’est l’équation du mouvement d’un pendule simple avec amortissement écrite dans
le plan de phases.) Démontrer que l’équilibre (0, 0) t est asymptotiquement stable.
Exercice 8.2 On considère le système
(S)
x
= y ,
y
= −x + (x
2
− 1) y .
i). Montrer que (0, 0) t est un point fixe hyperbolique asymptotiquement stable pour
(S).
ii). Montrer que H : (x, y) ∈ R
2
→ x
2 + y
2 est une fonction de Lyapunov pour
(S) au point (0, 0).
iii). Soient (x 0 , y 0 ) tel que H (x 0 , y 0 ) < 1 et L v (x 0 , y 0 ) l’ensemble v-limite de
(x 0 , y 0 )
t , relativement à (S). Montrer que L v (x 0 , y 0 ) est compact et non-vide.
iv). Le système (S) admet-il des cycles dans D := {(x, y); x
2 + y
2 < 1} ?
v). Déduire de ce qui précède que L v (x 0 , y 0 ) est réduit à {(0, 0) t }. Dire en quoi ce
résultat est plus fort que la stabilité asymptotique de (0, 0) t .
Exercice 8.3 On considère le système
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= −y + x y ,
dy
dt
= x +
1
2 (x
2
− y
2 ) .
i). Déterminer les points fixes de (S) et leur nature.
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