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8 • Stabilité des solutions stationnaires
le théorème de Hartman-Grobman, ceci ne peut se produire qu’au voisinage d’un point
fixe non hyperbolique. Nous allons donc considérer
f : U × L ⊂ R
n
× R → R
n
(u, l)
→ f (u, l) ,
de classe C
2 , tel qu’il existe (u 0 , l 0 ) ∈ U × L pour lequel f (u 0 , l 0 ) = 0 et le spectre
de D f (u 0 , l 0 ) (où D désigne comme au paragraphe précédent la différentielle partielle
par rapport à u) intersecte l’axe imaginaire. Plus précisément, nous allons nous placer
successivement dans les cas les plus simples :
i). la seule valeur propre imaginaire pure de D f (u 0 , l 0 ) est 0 ;
ii). la jacobienne D f (u 0 , l 0 ) admet exactement deux valeurs propres imaginaires
pures (et donc forcément conjuguées l’une à l’autre).
Sous des hypothèses « génériques » , le premier cas correspond à la bifurcation
élémentaire dite nœud-col, et le second à une bifurcation de Hopf.
8.5.1 Bifurcation nœud-col
Si D f (u 0 , l 0 ) a seulement 0 comme valeur propre imaginaire pure, alors le système
augmenté :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
du
dt
= f (u, l) ,
dl
dt
= 0 ,
(8.8)
admet une variété centrale locale en (u 0 , l 0 ) de dimension 2. Le système réduit sur
cette variété est de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= g(x, l) ,
dl
dt
= 0 ,
(8.9)
où l’inconnue x est scalaire, g(0, l 0 ) = 0 et ∂ x g(0, l 0 ) = 0. Supposons en outre que
∂ l g(0, l 0 ) = 0 , ∂ x g(0, l 0 ) = 0 .
Pour fixer les idées, on supposera ces deux quantités positives. Dans ce cas, pour
l < l 0 , la fonction g(·, l) ne s’annule pas au voisinage de 0, pour l = l 0 elle s’annule
exactement au point 0, et pour l > l 0 elle s’annule en deux points de signes opposés.
Plus précisément, au voisinage de (0, l 0 ) dans le plan {(x, l) ∈ R
2
}, l’ensemble des