8.5 Introduction aux bifurcations
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x
λ
Figure 8.1 Portrait de phase du système (8.9) lorsque ∂ l g(0, l 0 ) > 0 et ∂ x g(0, l 0 ) > 0.
zéros de g est une courbe, tangente à l’axe Ox en (0, l 0 ), avec la concavité tournée
vers l > l 0 . Le portrait de phases du système (8.9) est particulièrement simple à
tracer, car sur les droites d’équation l = constante, il se ramène au portrait de phase
d’équations différentielles scalaires. Il est d’usage de tracer ce portrait de phases avec
le paramètre (l) en abscisse, voir la figure 8.1.
Le nom de cette bifurcation provient du portrait de phase de l’équation scalaire
dx
dt
= g(x, l)
augmentée d’une équation hyperbolique, par exemple
dy
dt
= −y .
Le portrait de phase du système plan ainsi obtenu est qualitativement le même que
celui du système modèle :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= x
2
− l + l 0 ,
dy
dt
= − y ,
(8.10)
(aussi appelé forme réduite). Il change radicalement lorsque l traverse la valeur
critique l 0 , voir les figures 8.2, 8.3, 8.4.
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