8.5 Introduction aux bifurcations
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solutions ainsi obtenues sont en fait, d’après le lemme d’unicité (5.6), des translatées
x → v(x − x 0 ) de v, valant par exemple 1/2 en x = 0.
Ces considérations sur les solutions stationnaires étant faites, on fixe v comme cidessus et l’on cherche des solutions ondes progressives « proches » de v, c’est-à-dire
des solutions ne dépendant que de x − st avec s petit et ayant pour comportements
asymptotiques :
lim
x→−∞
v(x, t) = v − ≈ 0 ,
lim
x→+∞
v(x, t) = v + ≈ 1 .
Ceci revient (par un changement d’échelle ou en cherchant directement des solutions
comme fonctions de j := (x − st)/
√
´) à chercher des orbites hétéroclines du
système
s v
+ u
= 0 ,
− s u
+ (p(v))
= m u
− ´ v
,
avec h := m/
√
´ . L’élimination de u et une première intégration à vue sont encore
possibles. On se ramène ainsi à l’équation en v :
v
+ s h v
+ p(v) − p(v − ) + s
2 (v − v − ) = 0 .
Cette nouvelle équation différentielle n’admet pas de facteur intégrant évident, et c’est
tout l’intérêt de la méthode de Melnikov pour chercher des orbites hétéroclines. On
peut en effet appliquer cette méthode avec comme paramètre v = (s, v − ), en écrivant
l’équation sous forme d’un système du premier ordre dans le plan de phase :
v
= w ,
w
= − s h w − p(v) + p(v − ) − s
2 (v − v − ) .
Le champ g(v, w; s, v − ) :=
w, −shw − p(v) + p(v − ) − s
2 (v − v − )
t est tel que
g(v, w; 0, 0) ∧
∂g
∂s
(v, w; 0, 0) = − h w
2 < 0 .
Par conséquent, d’après le lemme 8.21 et le théorème des fonctions implicites, pour
tout s proche de 0 il existe v − proche de 0, et v + proche de 1 relié à v − par une orbite
hétérocline.
8.5 INTRODUCTION AUX BIFURCATIONS
On va s’intéresser ici aux bifurcations dites de co-dimension 1, c’est-à-dire concernant
des champs de vecteurs dépendant d’un paramètre scalaire et dont le portrait de phase
(local) change brutalement lorsque le paramètre traverse une valeur critique. D’après
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