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8 • Stabilité des solutions stationnaires
d’où les formules pour D 0 (0) et D 1 (0) :
D 0 (0) =
0
−∞
e
−
s
0
a(t) dt g(w(s), v 0 ) ∧
∂g
∂s
(w(s), v 0 ) ds ,
D 1 (0) = −
∞
0
e
−
s
0
a(t) dt g(w(s), v 0 ) ∧
∂g
∂s
(w(s), v 0 ) ds .
Comme
∂d
∂s
(v 0 ) = D 0 (0) − D 1 (0) ,
on en déduit la formule annoncée.
➤ Application aux transitions de phase
Certaines transitions de phase (liquide-vapeur ou dans un matériau élastique) peuvent
être décrites au moyen d’un système d’équations aux dérivées partielles de la forme :
∂ t v − ∂ x u = 0 ,
∂ t u + ∂ x ( p(v)) = m ∂
2
xx u − ´ ∂
3
xxx v .
(8.7)
Le paramètre m ≥ 0 est un coefficient de viscosité et ´ > 0 est un coefficient de
capillarité. Des transitions de phase se produisent lorsque la fonction v → p(v) n’est
pas monotone. Pour fixer les idées considérons p(v) := v (1−v) (2v−1). La primitive
f de − p s’annulant en 0 admet deux puits, l’un en 0 et l’autre en 1, appelés points
points de Maxwell. Il existe une solution de (8.7), représentant une transition de phase
stationnaire, indépendante de t avec lim x→−∞ v(x) = 1 et lim x→+∞ v(x) = 0. En
effet, les solutions du système d’EDO
u
= 0 ,
( p(v))
= m u
− ´ v
,
sont telles que u = constante et par conséquent p(v) + ´ v
= constante. Si v converge
suffisamment vite en ±∞, toutes ses dérivées tendent vers 0, et il faut donc p(v) +
´ v
= 0. Ceci est une équation différentielle du second ordre admettant v
comme
facteur intégrant : en multipliant par v
et en intégrant « à vue » entre −∞ et x, on
obtient
1
2
´ (v
)
2 = −
v
0
p(w) dw = f (v) .
Or la fonction
√
f est localement Lipschitzienne dans [0, 1] (car f (0) = f
(0) = 0,
f (1) = f
(1) = 0 et f (v) > 0 pour v ∈]0, 1[), donc le théorème de Cauchy-Lipschitz
s’applique à l’équation v
=
2 f (v)/´, et quel que soit v 0 ∈]0, 1[, la solution
valant v 0 en x = 0 est globale et fournit une orbite hétérocline de 0 à 1. Toutes les
8 • Stabilité des solutions stationnaires
d’où les formules pour D 0 (0) et D 1 (0) :
D 0 (0) =
0
−∞
e
−
s
0
a(t) dt g(w(s), v 0 ) ∧
∂g
∂s
(w(s), v 0 ) ds ,
D 1 (0) = −
∞
0
e
−
s
0
a(t) dt g(w(s), v 0 ) ∧
∂g
∂s
(w(s), v 0 ) ds .
Comme
∂d
∂s
(v 0 ) = D 0 (0) − D 1 (0) ,
on en déduit la formule annoncée.
➤ Application aux transitions de phase
Certaines transitions de phase (liquide-vapeur ou dans un matériau élastique) peuvent
être décrites au moyen d’un système d’équations aux dérivées partielles de la forme :
∂ t v − ∂ x u = 0 ,
∂ t u + ∂ x ( p(v)) = m ∂
2
xx u − ´ ∂
3
xxx v .
(8.7)
Le paramètre m ≥ 0 est un coefficient de viscosité et ´ > 0 est un coefficient de
capillarité. Des transitions de phase se produisent lorsque la fonction v → p(v) n’est
pas monotone. Pour fixer les idées considérons p(v) := v (1−v) (2v−1). La primitive
f de − p s’annulant en 0 admet deux puits, l’un en 0 et l’autre en 1, appelés points
points de Maxwell. Il existe une solution de (8.7), représentant une transition de phase
stationnaire, indépendante de t avec lim x→−∞ v(x) = 1 et lim x→+∞ v(x) = 0. En
effet, les solutions du système d’EDO
u
= 0 ,
( p(v))
= m u
− ´ v
,
sont telles que u = constante et par conséquent p(v) + ´ v
= constante. Si v converge
suffisamment vite en ±∞, toutes ses dérivées tendent vers 0, et il faut donc p(v) +
´ v
= 0. Ceci est une équation différentielle du second ordre admettant v
comme
facteur intégrant : en multipliant par v
et en intégrant « à vue » entre −∞ et x, on
obtient
1
2
´ (v
)
2 = −
v
0
p(w) dw = f (v) .
Or la fonction
√
f est localement Lipschitzienne dans [0, 1] (car f (0) = f
(0) = 0,
f (1) = f
(1) = 0 et f (v) > 0 pour v ∈]0, 1[), donc le théorème de Cauchy-Lipschitz
s’applique à l’équation v
=
2 f (v)/´, et quel que soit v 0 ∈]0, 1[, la solution
valant v 0 en x = 0 est globale et fournit une orbite hétérocline de 0 à 1. Toutes les