8.4 Variétés invariantes
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Démonstration. Par définition de y 0 (v) et y 1 (v), les applications w 0 et w 1
définies respectivement par
w
0 (t) = g(w 0 (t), v) ∀t ≤ 0 ,
w 0 (0) = y 0 (v) ,
w
1 (t) = g(w 0 (t), v) ∀t ≥ 0 ,
w 1 (0) = y 1 (v) ,
vérifient lim t→−∞ w 0 (t) = u − (v) et lim t→+∞ w 0 (t) = u + (v). De plus,
on a (si toutes les composantes de v sauf s coïncident avec celles de v 0 ),
w j (t) = w(t) + (s − s 0 ) x j (t) + O((s − s 0 )
2 ) ,
où les applications x 0 et x 1 sont définies et bornées sur R
− et sur R
+ respectivement par
x
j (t) = Dg(w(t), v 0 ) x j (t) +
∂g
∂s
(w(t), v 0 ) , x j (0) =
∂ y j
∂s
(v 0 ) .
On a donc en particulier :
∂d
∂s
(v 0 ) = w
(0) ∧ ( x 0 (0) − x 1 (0) ) .
Pour évaluer ce nombre, introduisons :
D j (t) := w
(t) ∧ x j (t) = g(w(t), v 0 ) ∧ x j (t)
pour j = 0 ou 1. On a
d
dt
D j (t) = (Dg(w(t), v 0 ) · w
(t)) ∧ x j (t) + g(w(t), v 0 ) ∧ x
j (t)
= (tr Dg(w(t), v 0 )) D j (t) + g(w(t), v 0 ) ∧
∂g
∂s
(w(t), v 0 ) .
Soit a(t) = tr Dg(w(t), v 0 )). On a
lim
t→−∞
a(t) = l 0 + m 0 ,
lim
t→+∞
a(t) = l 1 + m 1
et
w(t) = O(e
m 0 t ) , t → −∞ ,
w(t) = O(e
l 1 t ) , t → +∞ .
On en déduit facilement
3
lim
t→−∞
D 0 (t) e
−
t
0
a(t) dt = 0 ,
lim
t→+∞
D 1 (t) e
−
t
0
a(t) dt = 0 ,
3. On rappelle le résultat classique de comparaison entre primitives : si a(t)
t→+∞
= O(b(t)) avec b(t) de
signe constant et
t
0
b(t) dt divergente, alors
t
0
a(t) dt = O
t
0
b(t) dt
.
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