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8 • Stabilité des solutions stationnaires
Dans l’exemple du pendule amorti :
x
= y ,
y
= − k y − sin x ,
les applications u ± sont en fait triviales : u + ≡ u 1 = (p, 0) t et u − ≡ u 0 =
(−p, 0) t .
En se plaçant dans le cadre du lemme 8.20, on suppose de plus qu’il existe une
orbite hétérocline reliant u 0 à u 1 pour la valeur v 0 du paramètre, c’est-à-dire une
solution w ∈ C
1 (R) de
w
(t) = g(u, v 0 ) ,
lim
t→−∞
w(t) = u 0 ,
lim
t→+∞
w(t) = u 1 .
(8.6)
La question est de savoir si, lorsqu’on modifie (légèrement) le paramètre v, il persiste
des orbites hétéroclines reliant les points fixes voisins u − (v) et u + (v). On va voir
que la méthode de Melnikov en fournit une condition suffisante. L’idée de départ est
d’exprimer l’existence d’un orbite hétérocline entre u − (v) et u + (v) sous forme d’une
équation scalaire d(v) = 0. Dans le cas d’un paramètre v scalaire, il n’y a « génériquement » (si d
(v 0 ) = 0) que la valeur v 0 qui fournisse une orbite hétérocline :
c’est le cas par exemple pour le pendule amorti. La méthode de Melnikov est vraiment
intéressante lorsqu’il y a plus d’un paramètre (scalaire), c’est-à-dire si p ≥ 2, car on
peut espérer appliquer le théorème des fonctions implicites.
D’après le théorème de la variété centrale-stable (théorème 8.17) appliqué au système augmenté (comme au § 5.5.2) de l’équation v
= 0, quitte à diminuer O,
pour tout v ∈ O il existe deux courbes W
u (v) et W
s (v) « proches » de l’orbite
g = {w(t) ; t ∈ R}, l’une est la variété instable issue de u − et l’autre la variété
stable issue de u + (v), pour l’équation u
= g(u, v). En particulier, si S est une section
locale en w(0), W
u (v) et W
s (v) intersectent (transversalement) S en des points y 0 (v)
et y 1 (v) respectivement. L’existence d’une orbite hétérocline joignant u − (v) à u + (v)
équivaut alors à
y 0 (v) = y 1 (v) ,
ou encore à la relation scalaire d(v) = 0 avec d(v) := w
(0) ∧ ( y 0 (v) − y 1 (v) ),
où l’on note ici ∧ la forme bilinéaire alternée définie par le déterminant dans la base
canonique de R
2 . La fonction d, mesurant une sorte de distance entre les variétés
W
u (v) et W
s (v), est appelée fonction (de séparation) de Melnikov. Comme y 1 (v 0 ) =
y 0 (v 0 ) = w(0), on a bien sûr d(v 0 ) = 0. La force de la méthode réside dans
l’évaluation des dérivées partielles de d.
Lemme 8.21 Dans le cadre du lemme 8.20, si w est solution de (8.6), et s désigne
l’une quelconque des composantes de v, la fonction d définie ci-dessus vérifie :
∂d
∂s
(v 0 ) =
+∞
−∞
e
−
s
0
tr Dg(w(t),v 0 ) dt g(w(s), v 0 ) ∧
∂g
∂s
(w(s), v 0 ) ds .
8 • Stabilité des solutions stationnaires
Dans l’exemple du pendule amorti :
x
= y ,
y
= − k y − sin x ,
les applications u ± sont en fait triviales : u + ≡ u 1 = (p, 0) t et u − ≡ u 0 =
(−p, 0) t .
En se plaçant dans le cadre du lemme 8.20, on suppose de plus qu’il existe une
orbite hétérocline reliant u 0 à u 1 pour la valeur v 0 du paramètre, c’est-à-dire une
solution w ∈ C
1 (R) de
w
(t) = g(u, v 0 ) ,
lim
t→−∞
w(t) = u 0 ,
lim
t→+∞
w(t) = u 1 .
(8.6)
La question est de savoir si, lorsqu’on modifie (légèrement) le paramètre v, il persiste
des orbites hétéroclines reliant les points fixes voisins u − (v) et u + (v). On va voir
que la méthode de Melnikov en fournit une condition suffisante. L’idée de départ est
d’exprimer l’existence d’un orbite hétérocline entre u − (v) et u + (v) sous forme d’une
équation scalaire d(v) = 0. Dans le cas d’un paramètre v scalaire, il n’y a « génériquement » (si d
(v 0 ) = 0) que la valeur v 0 qui fournisse une orbite hétérocline :
c’est le cas par exemple pour le pendule amorti. La méthode de Melnikov est vraiment
intéressante lorsqu’il y a plus d’un paramètre (scalaire), c’est-à-dire si p ≥ 2, car on
peut espérer appliquer le théorème des fonctions implicites.
D’après le théorème de la variété centrale-stable (théorème 8.17) appliqué au système augmenté (comme au § 5.5.2) de l’équation v
= 0, quitte à diminuer O,
pour tout v ∈ O il existe deux courbes W
u (v) et W
s (v) « proches » de l’orbite
g = {w(t) ; t ∈ R}, l’une est la variété instable issue de u − et l’autre la variété
stable issue de u + (v), pour l’équation u
= g(u, v). En particulier, si S est une section
locale en w(0), W
u (v) et W
s (v) intersectent (transversalement) S en des points y 0 (v)
et y 1 (v) respectivement. L’existence d’une orbite hétérocline joignant u − (v) à u + (v)
équivaut alors à
y 0 (v) = y 1 (v) ,
ou encore à la relation scalaire d(v) = 0 avec d(v) := w
(0) ∧ ( y 0 (v) − y 1 (v) ),
où l’on note ici ∧ la forme bilinéaire alternée définie par le déterminant dans la base
canonique de R
2 . La fonction d, mesurant une sorte de distance entre les variétés
W
u (v) et W
s (v), est appelée fonction (de séparation) de Melnikov. Comme y 1 (v 0 ) =
y 0 (v 0 ) = w(0), on a bien sûr d(v 0 ) = 0. La force de la méthode réside dans
l’évaluation des dérivées partielles de d.
Lemme 8.21 Dans le cadre du lemme 8.20, si w est solution de (8.6), et s désigne
l’une quelconque des composantes de v, la fonction d définie ci-dessus vérifie :
∂d
∂s
(v 0 ) =
+∞
−∞
e
−
s
0
tr Dg(w(t),v 0 ) dt g(w(s), v 0 ) ∧
∂g
∂s
(w(s), v 0 ) ds .