8.4 Variétés invariantes
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dont on peut calculer explicitement les solutions et constater que les orbites
sont incluses dans les courbes ayant une équation de la forme
y = C exp(1/x) ,
où C est une constante arbitraire. Le portrait de phase (voir la figure 8.3) montre
ainsi une infinité de courbes tangentes à l’axe Ox et vérifiant les propriétés i)
ii) : ce sont précisément les graphes de toutes les fonctions de la forme
x →
0
x ≥ 0 ,
C exp(1/x) x < 0 .
.
Les variétés invariantes jouent un rôle crucial dans l’étude des propriétés qualitatives
des équations différentielles. Nous allons en donner une illustration avec la méthode de
Melnikov, qui permet de montrer la persistance d’orbites hétéroclines (ou homoclines).
➤ Méthode de Melnikov
Considérons une équation différentielle dans R
2 , dépendant d’un paramètre v ∈ V ⊂
R
p (V ouvert) :
du
dt
= g(u, v) ,
avec g ∈ C
1 (U × V), U un ouvert de R
2 . Un exemple avec p = 1 est le système du
pendule amorti (v = k le taux d’amortissement, voir p. 262). On verra plus loin un
exemple plus intéressant avec p = 3, provenant de la modélisation de transitions de
phase.
Commençons par un résultat facile concernant la persistance des points selles. Par
souci de lisibilité on note D la différentiation partielle par rapport à u.
Lemme 8.20 Supposons qu’il existe u 0 ∈ U et u 1 ∈ U tels que pour j = 0 ou 1,
g(u j , v 0 ) = 0, et Dg(u j , v 0 ) ait comme valeurs propres l j , m j , avec
Re l j < 0 < Re m j .
Alors il existe des voisinages U 0 , U 1 et O de u 0 , u 1 et v 0 respectivement, et des
applications u − ∈ C
1 (O; U 0 ), u + ∈ C
1 (O; U 1 ), telles que
( g(u, v) = 0 , (u, v) ∈ U 1 × O ) ⇐⇒ u = u + (v) ,
( g(u, v) = 0 , (u, v) ∈ U 0 × O ) ⇐⇒ u = u − (v) .
De plus, pour tout v ∈ O, les jacobiennes Dg(u ± (v), v) ont des valeurs propres l ± ,
m ± , avec Re l ± < 0 < Re m ± .
Démonstration. La première partie est une simple application du théorème
des fonctions implicites. La seconde utilise la continuité des valeurs propres
(voir [18, p. 107]) par rapport à (u, v).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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dont on peut calculer explicitement les solutions et constater que les orbites
sont incluses dans les courbes ayant une équation de la forme
y = C exp(1/x) ,
où C est une constante arbitraire. Le portrait de phase (voir la figure 8.3) montre
ainsi une infinité de courbes tangentes à l’axe Ox et vérifiant les propriétés i)
ii) : ce sont précisément les graphes de toutes les fonctions de la forme
x →
0
x ≥ 0 ,
C exp(1/x) x < 0 .
.
Les variétés invariantes jouent un rôle crucial dans l’étude des propriétés qualitatives
des équations différentielles. Nous allons en donner une illustration avec la méthode de
Melnikov, qui permet de montrer la persistance d’orbites hétéroclines (ou homoclines).
➤ Méthode de Melnikov
Considérons une équation différentielle dans R
2 , dépendant d’un paramètre v ∈ V ⊂
R
p (V ouvert) :
du
dt
= g(u, v) ,
avec g ∈ C
1 (U × V), U un ouvert de R
2 . Un exemple avec p = 1 est le système du
pendule amorti (v = k le taux d’amortissement, voir p. 262). On verra plus loin un
exemple plus intéressant avec p = 3, provenant de la modélisation de transitions de
phase.
Commençons par un résultat facile concernant la persistance des points selles. Par
souci de lisibilité on note D la différentiation partielle par rapport à u.
Lemme 8.20 Supposons qu’il existe u 0 ∈ U et u 1 ∈ U tels que pour j = 0 ou 1,
g(u j , v 0 ) = 0, et Dg(u j , v 0 ) ait comme valeurs propres l j , m j , avec
Re l j < 0 < Re m j .
Alors il existe des voisinages U 0 , U 1 et O de u 0 , u 1 et v 0 respectivement, et des
applications u − ∈ C
1 (O; U 0 ), u + ∈ C
1 (O; U 1 ), telles que
( g(u, v) = 0 , (u, v) ∈ U 1 × O ) ⇐⇒ u = u + (v) ,
( g(u, v) = 0 , (u, v) ∈ U 0 × O ) ⇐⇒ u = u − (v) .
De plus, pour tout v ∈ O, les jacobiennes Dg(u ± (v), v) ont des valeurs propres l ± ,
m ± , avec Re l ± < 0 < Re m ± .
Démonstration. La première partie est une simple application du théorème
des fonctions implicites. La seconde utilise la continuité des valeurs propres
(voir [18, p. 107]) par rapport à (u, v).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit