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8 • Stabilité des solutions stationnaires
obtient la variété centrale-stable W
cs par renversement du temps (t → −t). On définit
alors la variété centrale (au point v) par W
c := W
cu
∩ W
cs .
Quite à diminuer ´ dans l’énoncé du théorème 8.17, on peut démontrer que W
c est
le graphe d’une fonction de classe C
1 au dessus de E
c := E
cu
∩ E
cs où E
cu et E
cs
désignent naturellement les espaces tangents respectivement à W
cu et W
cs au point v.
D’après le théorème 8.17, si w ∈ W
c , pour tout a > 0 il existe C > 0 tel que
∀t ∈ R , f t (w) − v ≤ C e
at .
Autrement dit, les solutions de problèmes Cauchy avec donnée initiale dans la variété
centrale W
c ne peuvent croître que de façon modérée (tout en restant à valeurs dans
W
c du fait de son invariance par le flot).
Insistons sur le fait que le théorème 8.17 ne s’applique qu’aux champs de vecteurs
dont la partie non-linéaire est assez petite dans C
1
b (R
n ). Cependant on peut démontrer
(notamment à l’aide d’une troncature comme ci-dessus, voir [28]), l’existence d’une
variété centrale locale.
Théorème 8.19 (de la variété centrale locale) Soient f ∈ C
1 (U ; R
n ) un champ complet de flot f et v tels que f (v) = 0. On suppose que E
c , le sous-espace central de
d f (v), c’est-à-dire la somme des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs
propres imaginaires pures de d f (v), est non trivial. Alors il existe un voisinage V de
v dans U et une variété locale W
c
loc , tangente à E
c au point v, c’est-à-dire que
W
c
loc = { w = v + j + h(j) ; j ∈ O ⊂ E
c
} ,
où O est un voisinage de 0 dans E
c et h : O → E
s
⊕ E
u (somme des sousespaces caractéristiques associés aux valeurs propres de parties réelles respectivement
strictement négatives et strictement positives) est telle que h(0) = 0, dh(0) = 0,
vérifiant les deux propriétés suivantes :
i). Invariance par le flot : quel que soit w ∈ W
c
loc , quel que soit t ∈ R,
f t (w) ∈ V ⇒ f t (w) ∈ W
c
loc .
ii). Lieu des orbites globales proches de v : quel que soit w ∈ V, si f t (w) est à
valeurs dans V quel que soit t ∈ R, alors w ∈ W
c
loc .
Remarque : Ce théorème ne dit rien de l’unicité de W
c
loc , qui est fausse en
général. Un exemple très simple est celui du système
x
= x
2 ,
y
= −y ,
8 • Stabilité des solutions stationnaires
obtient la variété centrale-stable W
cs par renversement du temps (t → −t). On définit
alors la variété centrale (au point v) par W
c := W
cu
∩ W
cs .
Quite à diminuer ´ dans l’énoncé du théorème 8.17, on peut démontrer que W
c est
le graphe d’une fonction de classe C
1 au dessus de E
c := E
cu
∩ E
cs où E
cu et E
cs
désignent naturellement les espaces tangents respectivement à W
cu et W
cs au point v.
D’après le théorème 8.17, si w ∈ W
c , pour tout a > 0 il existe C > 0 tel que
∀t ∈ R , f t (w) − v ≤ C e
at .
Autrement dit, les solutions de problèmes Cauchy avec donnée initiale dans la variété
centrale W
c ne peuvent croître que de façon modérée (tout en restant à valeurs dans
W
c du fait de son invariance par le flot).
Insistons sur le fait que le théorème 8.17 ne s’applique qu’aux champs de vecteurs
dont la partie non-linéaire est assez petite dans C
1
b (R
n ). Cependant on peut démontrer
(notamment à l’aide d’une troncature comme ci-dessus, voir [28]), l’existence d’une
variété centrale locale.
Théorème 8.19 (de la variété centrale locale) Soient f ∈ C
1 (U ; R
n ) un champ complet de flot f et v tels que f (v) = 0. On suppose que E
c , le sous-espace central de
d f (v), c’est-à-dire la somme des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs
propres imaginaires pures de d f (v), est non trivial. Alors il existe un voisinage V de
v dans U et une variété locale W
c
loc , tangente à E
c au point v, c’est-à-dire que
W
c
loc = { w = v + j + h(j) ; j ∈ O ⊂ E
c
} ,
où O est un voisinage de 0 dans E
c et h : O → E
s
⊕ E
u (somme des sousespaces caractéristiques associés aux valeurs propres de parties réelles respectivement
strictement négatives et strictement positives) est telle que h(0) = 0, dh(0) = 0,
vérifiant les deux propriétés suivantes :
i). Invariance par le flot : quel que soit w ∈ W
c
loc , quel que soit t ∈ R,
f t (w) ∈ V ⇒ f t (w) ∈ W
c
loc .
ii). Lieu des orbites globales proches de v : quel que soit w ∈ V, si f t (w) est à
valeurs dans V quel que soit t ∈ R, alors w ∈ W
c
loc .
Remarque : Ce théorème ne dit rien de l’unicité de W
c
loc , qui est fausse en
général. Un exemple très simple est celui du système
x
= x
2 ,
y
= −y ,