8.4 Variétés invariantes
277
où −b < g. En notant g(x) := f (x) − d f (v) · (x − v), il existe ´ > 0 tel que si
g C 1
b (R n ) ≤ ´, il existe un unique h ∈ C
1 (E
+ ; E
− ) tel que
h(0) = 0 , dh(0) = 0 , sup
j∈E +
dh(j) < +∞ ,
et le graphe de h, W
+ := { v + j + h(j) ; j ∈ E
+
}, soit invariant par le flot f de
l’équation différentielle u
= f (u). De plus, pour tout w = v + j + h(j) ∈ W
+ et
pour tout g
> g il existe C > 0 tel que
f t (w) − v ≤ C e
g
t
j , t < 0 .
Dans cet énoncé, si les deux paramètres b et g sont strictement positifs, le point
fixe est hyperbolique, et la variété obtenue est la variété instable.
Voyons comment le théorème 8.13 se déduit du théorème 8.17. Quitte à modifier
f , et donc aussi g en dehors d’un voisinage de v, on peut supposer g C 1 (R n ) ≤ ´. En
effet, il existe une boule B(v; h) dans R
n telle que
sup
x∈B(v;h)
dg(x) ≤ ´/3 , d’où sup
x∈B(v;h)
g(x) ≤ h ´/3
par le théorème des accroissements finis. Soit alors x ∈ C
∞ (R
n ; R
+ ), valant identiquement 1 dans B(v; h/3), identiquement 0 en dehors de B(v; h) telle que
sup
x∈R n
x(x) = 1 , sup
x∈R n
dx(x) ≤ 2/h .
(L’existence d’un tel x, appelé fonction de troncature est laissée en exercice. C’est ici
que se situerait la principale difficulté dans un espace de Banach de dimension infinie
au lieu de R
n , voir [29].) Considérons
f définie par
f (x) = d f (v) · (x − v) +
g(x) ,
g := x g .
Évidemment on a
f = f dans B(v; h/3), et donc en particulier d
f (v) = d f (v). De
plus
d g(x) ≤ dx(x) sup
x∈B(v;h)
g(x) + dg(x) ≤
2
h
h ´
3
+
´
3
= ´ .
Donc le théorème 8.17 s’applique à l’équation différentielle u
=
f (u), dont le flot
coïncide avec celui de u
= f (u) dans B(v; h/3).
Définition 8.18 Lorsque g = 0 dans l’énoncé du théorème 8.17, la variété obtenue
W
+ est appelée variété centrale-instable (au point v) et généralement notée W
cu . On
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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où −b < g. En notant g(x) := f (x) − d f (v) · (x − v), il existe ´ > 0 tel que si
g C 1
b (R n ) ≤ ´, il existe un unique h ∈ C
1 (E
+ ; E
− ) tel que
h(0) = 0 , dh(0) = 0 , sup
j∈E +
dh(j) < +∞ ,
et le graphe de h, W
+ := { v + j + h(j) ; j ∈ E
+
}, soit invariant par le flot f de
l’équation différentielle u
= f (u). De plus, pour tout w = v + j + h(j) ∈ W
+ et
pour tout g
> g il existe C > 0 tel que
f t (w) − v ≤ C e
g
t
j , t < 0 .
Dans cet énoncé, si les deux paramètres b et g sont strictement positifs, le point
fixe est hyperbolique, et la variété obtenue est la variété instable.
Voyons comment le théorème 8.13 se déduit du théorème 8.17. Quitte à modifier
f , et donc aussi g en dehors d’un voisinage de v, on peut supposer g C 1 (R n ) ≤ ´. En
effet, il existe une boule B(v; h) dans R
n telle que
sup
x∈B(v;h)
dg(x) ≤ ´/3 , d’où sup
x∈B(v;h)
g(x) ≤ h ´/3
par le théorème des accroissements finis. Soit alors x ∈ C
∞ (R
n ; R
+ ), valant identiquement 1 dans B(v; h/3), identiquement 0 en dehors de B(v; h) telle que
sup
x∈R n
x(x) = 1 , sup
x∈R n
dx(x) ≤ 2/h .
(L’existence d’un tel x, appelé fonction de troncature est laissée en exercice. C’est ici
que se situerait la principale difficulté dans un espace de Banach de dimension infinie
au lieu de R
n , voir [29].) Considérons
f définie par
f (x) = d f (v) · (x − v) +
g(x) ,
g := x g .
Évidemment on a
f = f dans B(v; h/3), et donc en particulier d
f (v) = d f (v). De
plus
d g(x) ≤ dx(x) sup
x∈B(v;h)
g(x) + dg(x) ≤
2
h
h ´
3
+
´
3
= ´ .
Donc le théorème 8.17 s’applique à l’équation différentielle u
=
f (u), dont le flot
coïncide avec celui de u
= f (u) dans B(v; h/3).
Définition 8.18 Lorsque g = 0 dans l’énoncé du théorème 8.17, la variété obtenue
W
+ est appelée variété centrale-instable (au point v) et généralement notée W
cu . On
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit