276
8 • Stabilité des solutions stationnaires
y(t) ∈ W et donc f t (w) = y(t) + h(y(t)) (puisque f t (w) ∈ W
u
loc comme
w), ce qui montre que y est solution dans E
u du problème de Cauchy :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dy
dt
= A
u y + P
u
◦ g(y + h(y)) ,
y(0) = P
u
w ,
où A
u = A ◦ P
u . Par construction, l’application y → P
u
◦ g(y + h(y)) a une
différentielle nulle en y = 0. Comme A
u a tout son spectre de partie réelle
strictement positive, le théorème 8.7 (en renversant le temps) montre que,
quitte à réduire W, y(t) reste dans W pour tout t ≤ 0 et de plus que
lim
t→−∞
y(t) = 0 .
Ceci implique évidemment f t (w) ∈ W pour tout t ≤ 0 et, par continuité de
h (qui vaut 0 en 0), lim t→−∞ f t (w) = 0 .
Remarque : À partir des variétés stable et instable locale on peut définir les
variétés globales :
W
s =
t≤0
f t
W
s
loc
et W
u =
t≥0
f t
W
u
loc
.
Cependant, rien ne dit que ce sont des graphes, et elles peuvent même coïncider,
comme par exemple pour un point selle admettant deux orbites homoclines
(dessin en forme de 8).
8.4 VARIÉTÉS INVARIANTES
Plus généralement, on peut construire des variétés invariantes par le flot d’une équation différentielle en séparant de façon arbitraire le spectre de l’équation linéarisée,
s’affranchissant ainsi de l’hyperbolicité du point fixe.
De plus, on peut construire des « variétés globales » qui soient des graphes de
fonctions définies sur des sous-espaces invariants par l’équation linéarisée, à condition
que la partie non-linéaire du champ de vecteurs soit globalement assez petite. C’est
l’objet du résultat suivant, que l’on admettra (voir [4, p. 286]) mais dont on montrera
comment il implique en particulier le théorème 8.13.
Théorème 8.17 Soient f ∈ C
1 (R
n ; R
n ) et v ∈ R
n tels que f (v) = 0. Soient E
− , E
+
des sous-espaces supplémentaires dans R
n , invariants par A := d f (v) tels que
s
A |E −
⊂ {l ; Re l ≤ −b } , s
A |E +
⊂ {l ; Re l ≥ g } ,
8 • Stabilité des solutions stationnaires
y(t) ∈ W et donc f t (w) = y(t) + h(y(t)) (puisque f t (w) ∈ W
u
loc comme
w), ce qui montre que y est solution dans E
u du problème de Cauchy :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dy
dt
= A
u y + P
u
◦ g(y + h(y)) ,
y(0) = P
u
w ,
où A
u = A ◦ P
u . Par construction, l’application y → P
u
◦ g(y + h(y)) a une
différentielle nulle en y = 0. Comme A
u a tout son spectre de partie réelle
strictement positive, le théorème 8.7 (en renversant le temps) montre que,
quitte à réduire W, y(t) reste dans W pour tout t ≤ 0 et de plus que
lim
t→−∞
y(t) = 0 .
Ceci implique évidemment f t (w) ∈ W pour tout t ≤ 0 et, par continuité de
h (qui vaut 0 en 0), lim t→−∞ f t (w) = 0 .
Remarque : À partir des variétés stable et instable locale on peut définir les
variétés globales :
W
s =
t≤0
f t
W
s
loc
et W
u =
t≥0
f t
W
u
loc
.
Cependant, rien ne dit que ce sont des graphes, et elles peuvent même coïncider,
comme par exemple pour un point selle admettant deux orbites homoclines
(dessin en forme de 8).
8.4 VARIÉTÉS INVARIANTES
Plus généralement, on peut construire des variétés invariantes par le flot d’une équation différentielle en séparant de façon arbitraire le spectre de l’équation linéarisée,
s’affranchissant ainsi de l’hyperbolicité du point fixe.
De plus, on peut construire des « variétés globales » qui soient des graphes de
fonctions définies sur des sous-espaces invariants par l’équation linéarisée, à condition
que la partie non-linéaire du champ de vecteurs soit globalement assez petite. C’est
l’objet du résultat suivant, que l’on admettra (voir [4, p. 286]) mais dont on montrera
comment il implique en particulier le théorème 8.13.
Théorème 8.17 Soient f ∈ C
1 (R
n ; R
n ) et v ∈ R
n tels que f (v) = 0. Soient E
− , E
+
des sous-espaces supplémentaires dans R
n , invariants par A := d f (v) tels que
s
A |E −
⊂ {l ; Re l ≤ −b } , s
A |E +
⊂ {l ; Re l ≥ g } ,