8.3 Points fixes hyperboliques
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Ce problème a une solution x ∈ X si et seulement si P x = S j avec
j = P
u
w et x 1 = x − P x ∈ X 1 := KerP est solution de
B x 1 = g( S j + x 1 ) .
D’après le lemme 8.16, il existe un opérateur K linéaire continu de Z dans
X 1 tel que B K = Id Z et K B = Id X − P . On a même une expression
explicite de K , d’après la formule (8.4) :
(K z)(t) =
t
−∞
e
(t−t) A P
s z(t) dt −
0
t
e
(t−t) A P
u z(t) dt , t ≤ 0 .
Soit alors
F 1 : X 1 × E
u
→ X 1
(x 1 , j) → x 1 − K g( S j + x 1 ) .
On a F 1 (0, 0) = 0 et d x 1 F 1 (0, 0) = Id X 1 . Donc on peut appliquer le
théorème des fonctions implicites à F 1 au voisinage de (0, 0). On en déduit
que l’équation B x 1 = g( S j + x 1 ) admet une solution unique x 1 = x 1 (j)
dans un voisinage V 1 × W ⊂ X 1 × E
u de (0, 0), avec x de classe C
1 sur
W et x 1 (0) = 0, d j x 1 (0) = 0 (puisque dg(0) = 0). Par suite, pour tout
w ∈ (P
u )
−1 (W), le problème de Cauchy (8.5) admet une unique solution
x ∈ S W + V 1 ⊂ X, donnée par x = S j + x 1 (j) , j = P
u
w . En
particulier, on a w = x(0) = j + x 1 (j)(0). On observe que x 1 (j)(0)
appartient à E
s , car x 1 = x 1 (j) appartient à Ker P et donc S P
u x 1 (0) = 0,
ce qui implique P
u x 1 (0) = 0. L’application
h : W ⊂ E
u
→ E
s
j
→ h(j) = x 1 (j)(0)
est de classe C
1 et vérifie h(0) = 0, d j h(0) = 0 . Ceci signifie exactement
que
W
u
loc := {w ∈ (P
u )
−1 (W); t → f t (w) ∈ X} = {w = j + h(j); j ∈ W}
est une variété tangente à E
u .
Il reste à vérifier que le voisinage V = (P
u )
−1 (W), est tel que f t (V) ⊂ V
pour tout t ≤ 0, et qu’on a même lim t→−∞ f t (w) = 0 pour tout w ∈ V.
Pour cela on va appliquer le théorème de Lyapunov n
o 3 à une équation différentielle réduite, pour laquelle 0 est asymptotiquement stable. Considérons
en effet, pour w ∈ V, y(t) := P
u (f t (w)) : au voisinage de t = 0 on a
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