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8 • Stabilité des solutions stationnaires
définit un opérateur linéaire continu de X dans Z. D’après le théorème
6.20 (p. 189), on voit que KerB = ImS, où S : E
u
→ X est défini par
(Sj)(t) := e
t A j. Un projecteur sur KerB est simplement donné par
P x = S ◦ P
u x(0) ,
où P
u est le projecteur sur E
u donné par le théorème 6.20. On a bien
P ◦ P = P puisque (P x)(0) = P
u x(0) et donc
P(P x) = S ◦ P
u (P x)(0) = S ◦ P
u
◦ P
u x(0) = S ◦ P
u x(0) = P x .
D’autre part, ImB = Z. Soit en effet z ∈ Z. L’équation z = B x n’étant
autre que l’équation différentielle avec terme source :
dx
dt
= A x + z ,
montrons que la formule (de type Duhamel) :
x(t) =
t
−∞
e
(t−t) A P
s z(t) dt −
0
t
e
(t−t) A P
u z(t) dt
(8.4)
fournit un antécédent x ∈ X de z par B. La première intégrale est bien
convergente et :
t
−∞
e
(t−t)A P
s z(t)dt
≤ b ´ z Z
t
−∞
e
−(b−´)(t−t) dt =
b ´
b − ´
z Z .
On a aussi une majoration pour la seconde intégrale :
0
t
e
(t−t)A P
u z(t)dt
≤ c ´ z Z
0
t
e
(g−´)(t−t) dt =
c ´
g − ´
z Z (1 − e
(g−´)t ) ≤
c ´
g − ´
z Z .
Donc la formule (8.4) définit bien une fonction continue bornée sur R
− ; le
fait que x
(t) = A x(t) + z(t) découle d’un calcul facile, en se rappelant
que P
u + P
s = Id X ; et on déduit une borne pour x
. Donc x appartient à
X et vérifie B x = z.
Étant donné w ∈ X proche de 0, on peut reformuler à l’aide des opérateurs
B et S le fait que x : t → f t (w) appartienne à X. En effet, par définition
du flot, x doit être solution du problème de Cauchy :
x
= Ax + g(x) , x(0) = w .
(8.5)