8.3 Points fixes hyperboliques
273
implique x 1 = x 1 − P x 1 = K Q G(x 0 + x 1 , j). On arrive ainsi au système :
⎧
⎨
⎩
x 1 = K Q G(x 0 + x 1 , j) ,
0 = (Id Z − Q) G(x 0 + x 1 , j) ,
(8.3)
Réciproquement, si l’on a une solution (x 1 , x 0 ) ∈ X 1 × X 0 de ce système, alors
B (x 0 + x 1 ) = B x 1 = B K Q G(x 0 + x 1 , j) = Q G(x 0 + x 1 , j) = G(x 0 + x 1 , j) .
Or la première équation du système (8.3) se résout par le théorème des fonctions
implicites. En effet, par hypothèse sur G, la fonction
F 1 : X 1 × X 0 × R
p
→ X 1
(x 1 , x 0 , j)
→ x 1 − K Q G(x 0 + x 1 , j)
est telle que F 1 (0, 0, 0) = 0 et d x 1 F 1 (0, 0, 0) = Id X 1 . Donc il existe une application
x 1 de classe C
1 au voisinage de (0, 0) telle que F 1 (x 1 , x 0 , j) = 0 avec (x 1 , x 0 , j)
voisin de (0, 0, 0) équivaut à x 1 = x 1 (x 0 , j). En substituant cette relation dans la
deuxième équation du système (8.3), on voit que la résolution de l’équation de départ
F(x, j) = 0 au voisinage de (0, 0) équivaut à la résolution de
(Id Z − Q) G(x 0 + x 1 (x 0 , j), j) = 0
au voisinage de (0, 0). Cette dernière équation est trivialement satisfaite dans le cas où
Q = Id Z , c’est-à-dire si ImB = Z. Ce sera le cas dans la démonstration du théorème
de la variété stable par cette méthode.
Démonstration. [Théorème de la variété stable locale] Sans perte de généralité, quitte à faire une translation dans l’espace des phases, on suppose
v = 0. On notera A := d f (0) et g(u) := f (u) − A u.
On va traiter le cas de W
u
loc , celui de W
s
loc s’en déduisant en changeant t en
−t. Les espaces X := C
1
b (R
− ; X ) et Z := C b (R
− ; X ) munis des normes
« naturelles » :
x X = max(x ∞ , x
∞ ) , z Z = z ∞ := max
t∈R −
z(t) X
sont des espaces de Banach et
B : x ∈ X →
dx
dt
− A x
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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implique x 1 = x 1 − P x 1 = K Q G(x 0 + x 1 , j). On arrive ainsi au système :
⎧
⎨
⎩
x 1 = K Q G(x 0 + x 1 , j) ,
0 = (Id Z − Q) G(x 0 + x 1 , j) ,
(8.3)
Réciproquement, si l’on a une solution (x 1 , x 0 ) ∈ X 1 × X 0 de ce système, alors
B (x 0 + x 1 ) = B x 1 = B K Q G(x 0 + x 1 , j) = Q G(x 0 + x 1 , j) = G(x 0 + x 1 , j) .
Or la première équation du système (8.3) se résout par le théorème des fonctions
implicites. En effet, par hypothèse sur G, la fonction
F 1 : X 1 × X 0 × R
p
→ X 1
(x 1 , x 0 , j)
→ x 1 − K Q G(x 0 + x 1 , j)
est telle que F 1 (0, 0, 0) = 0 et d x 1 F 1 (0, 0, 0) = Id X 1 . Donc il existe une application
x 1 de classe C
1 au voisinage de (0, 0) telle que F 1 (x 1 , x 0 , j) = 0 avec (x 1 , x 0 , j)
voisin de (0, 0, 0) équivaut à x 1 = x 1 (x 0 , j). En substituant cette relation dans la
deuxième équation du système (8.3), on voit que la résolution de l’équation de départ
F(x, j) = 0 au voisinage de (0, 0) équivaut à la résolution de
(Id Z − Q) G(x 0 + x 1 (x 0 , j), j) = 0
au voisinage de (0, 0). Cette dernière équation est trivialement satisfaite dans le cas où
Q = Id Z , c’est-à-dire si ImB = Z. Ce sera le cas dans la démonstration du théorème
de la variété stable par cette méthode.
Démonstration. [Théorème de la variété stable locale] Sans perte de généralité, quitte à faire une translation dans l’espace des phases, on suppose
v = 0. On notera A := d f (0) et g(u) := f (u) − A u.
On va traiter le cas de W
u
loc , celui de W
s
loc s’en déduisant en changeant t en
−t. Les espaces X := C
1
b (R
− ; X ) et Z := C b (R
− ; X ) munis des normes
« naturelles » :
x X = max(x ∞ , x
∞ ) , z Z = z ∞ := max
t∈R −
z(t) X
sont des espaces de Banach et
B : x ∈ X →
dx
dt
− A x
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