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8 • Stabilité des solutions stationnaires
Théorème 8.15 (de l’application ouverte) Si B est une application linéaire continue
surjective d’un espace de Banach X dans un espace de Banach Y , alors B est ouverte,
c’est-à-dire pour tout ouvert V de X, B(V) est un ouvert de Y . Par suite, si B est
bijective, son inverse B
−1 est continu.
(Pour la démonstration, voir par exemple [2], p. 19–20. Notons que le théorème de
Banach énoncé p. 3 en est une conséquence.) Une application linéaire injective admet
un inverse à gauche au sens algébrique, de même qu’une application linéaire surjective
admet un inverse à droite. Du point de vue de l’analyse fonctionnelle, l’existence d’un
inverse à droite continu pour une application linéaire continue surjective demande en
plus que son noyau admette un supplémentaire topologique
2 , tandis que l’existence
d’un inverse à gauche continu pour une application linéaire continue injective demande
que son image soit fermée et admette un supplémentaire topologique (voir par exemple
[2], p. 23). Le lemme suivant rassemble en quelque sorte ces deux résultats en un seul.
Lemme 8.16 Soit B ∈ L(X; Z), où X et Z sont des espaces de Banach. Si X 0 :=
KerB admet un supplémentaire topologique X 1 = KerP, où P est un projecteur
continu d’image X 0 , et si ImB est fermé, alors il existe un opérateur K linéaire
continu de ImB dans X 1 tel que
B K = Id ImB et K B = Id X − P .
Démonstration. La restriction de B à X 1 est injective d’image ImB. Donc,
pour tout z ∈ ImB, il existe un unique x ∈ X 1 tel que z = B x. Si l’on
définit l’opérateur K sur ImB, qui est un espace de Banach comme sousespace fermé d’un espace de Banach, par K z = x, K est évidemment
linéaire, et continu d’après le théorème de l’application ouverte ; il vérifie
par construction l’identité K B x = x pour tout x ∈ X 1 . De plus, n’importe
quel x ∈ X s’écrit de façon unique sous la forme x = x 0 + x 1 avec
x 0 = P x ∈ KerB et x 1 ∈ X 1 . On a alors B x = B x 1 , d’où K B x =
K B x 1 = x 1 = x − P x par définition de K .
Ainsi, pour un opérateur B satisfaisant les hypothèses de ce lemme et G ∈ C
1 (X ×
R
p ; Z), l’équation Bx = G(x, j) équivaut à G(x, j) ∈ ImB et B (x 0 + x 1 ) =
G(x 0 + x 1 , j) avec x 0 = P x ∈ X 0 = KerB et x 1 ∈ X 1 . Si de plus il existe Q
un projecteur continu sur ImB, ceci équivaut à G(x 0 + x 1 , j) = Q G(x 0 + x 1 , j)
et B x 1 = Q G(x 0 + x 1 , j). En composant à gauche par K , cette dernière équation
2. Par définition, un supplémentaire topologique d’un sous-espace fermé est un supplémentaire au sens
algébrique, qui est de plus fermé et sur lequel il existe un projecteur continu.
8 • Stabilité des solutions stationnaires
Théorème 8.15 (de l’application ouverte) Si B est une application linéaire continue
surjective d’un espace de Banach X dans un espace de Banach Y , alors B est ouverte,
c’est-à-dire pour tout ouvert V de X, B(V) est un ouvert de Y . Par suite, si B est
bijective, son inverse B
−1 est continu.
(Pour la démonstration, voir par exemple [2], p. 19–20. Notons que le théorème de
Banach énoncé p. 3 en est une conséquence.) Une application linéaire injective admet
un inverse à gauche au sens algébrique, de même qu’une application linéaire surjective
admet un inverse à droite. Du point de vue de l’analyse fonctionnelle, l’existence d’un
inverse à droite continu pour une application linéaire continue surjective demande en
plus que son noyau admette un supplémentaire topologique
2 , tandis que l’existence
d’un inverse à gauche continu pour une application linéaire continue injective demande
que son image soit fermée et admette un supplémentaire topologique (voir par exemple
[2], p. 23). Le lemme suivant rassemble en quelque sorte ces deux résultats en un seul.
Lemme 8.16 Soit B ∈ L(X; Z), où X et Z sont des espaces de Banach. Si X 0 :=
KerB admet un supplémentaire topologique X 1 = KerP, où P est un projecteur
continu d’image X 0 , et si ImB est fermé, alors il existe un opérateur K linéaire
continu de ImB dans X 1 tel que
B K = Id ImB et K B = Id X − P .
Démonstration. La restriction de B à X 1 est injective d’image ImB. Donc,
pour tout z ∈ ImB, il existe un unique x ∈ X 1 tel que z = B x. Si l’on
définit l’opérateur K sur ImB, qui est un espace de Banach comme sousespace fermé d’un espace de Banach, par K z = x, K est évidemment
linéaire, et continu d’après le théorème de l’application ouverte ; il vérifie
par construction l’identité K B x = x pour tout x ∈ X 1 . De plus, n’importe
quel x ∈ X s’écrit de façon unique sous la forme x = x 0 + x 1 avec
x 0 = P x ∈ KerB et x 1 ∈ X 1 . On a alors B x = B x 1 , d’où K B x =
K B x 1 = x 1 = x − P x par définition de K .
Ainsi, pour un opérateur B satisfaisant les hypothèses de ce lemme et G ∈ C
1 (X ×
R
p ; Z), l’équation Bx = G(x, j) équivaut à G(x, j) ∈ ImB et B (x 0 + x 1 ) =
G(x 0 + x 1 , j) avec x 0 = P x ∈ X 0 = KerB et x 1 ∈ X 1 . Si de plus il existe Q
un projecteur continu sur ImB, ceci équivaut à G(x 0 + x 1 , j) = Q G(x 0 + x 1 , j)
et B x 1 = Q G(x 0 + x 1 , j). En composant à gauche par K , cette dernière équation
2. Par définition, un supplémentaire topologique d’un sous-espace fermé est un supplémentaire au sens
algébrique, qui est de plus fermé et sur lequel il existe un projecteur continu.