8.3 Points fixes hyperboliques
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différentes sortes de nœuds en dimension 2. Le théorème dit de la variété stable ciaprès ne fait pas non plus de distinction entre ces points, mais il donne des informations
sur les propriétés différentielles des orbites, permettant en outre de se ramener à des
espaces de phases de plus petite dimension.
Théorème 8.13 (de la variété stable) Soit f ∈ C
1 (U ; R
n ) un champ complet de flot
f. On suppose que v est un point fixe hyperbolique de l’équation différentielle u
=
f (u), et l’on note E
s et E
u , les sous-espaces stable et instable de d f (v) donnés par
le théorème 6.20 (p. 189). Alors il existe un voisinage V de v dans U tel que les
ensembles
W
s
loc = { w ∈ V ; f t (w) ∈ V , ∀t ∈ R
+
} , W
u
loc = { w ∈ V ; f t (w) ∈ V , ∀t ∈ R
−
}
soient des graphes de fonctions différentiables « au dessus » de voisinages de v dans
les sous-espaces affines v + E
s et v + E
u respectivement, de différentielles nulles en
v. (On dit que ce sont des variétés (à bord) contenant v, tangentes respectivement
à E
s et E
u .) De plus, W
s
loc est positivement invariante par le flot, c’est-à-dire que
f t (W
s
loc ) ⊂ W
s
loc pour tout t ≥ 0, tandis que f t (W
u
loc ) ⊂ W
u
loc pour tout t ≤ 0, et
l’on a
W
s
loc = { w ∈ V ; lim
t→+∞
f t (w) = v } ,
W
u
loc = { w ∈ V ; lim
t→−∞
f t (w) = v } .
Définition 8.14 Les ensembles W
s
loc et W
u
loc sont appelés respectivement variété
stable locale et variété instable locale.
Nous allons voir une démonstration du théorème de la variété stable (locale) à l’aide
de la méthode de Lyapunov–Schmidt
➤ Méthode de Lyapunov–Schmidt
Cette méthode permet de résoudre des problèmes non-linéaires auxquels le théorème
des fonctions implicites ne s’applique pas directement. Plus précisément, considérons
une fonction F de la forme
F(x, j) = Bx − G(x, j)
pour (x, j) ∈ X × R
p , où X est un espace de Banach, B ∈ L(X; Z) avec Z un autre
espace de Banach, et G ∈ C
1 (X × R
p ; Z) est telle que
1
G(0, 0) = 0 , d x G(0, 0) = 0 .
La méthode de Lyapunov–Schmidt est fondée sur une conséquence du
1. Il suffit en fait que G soit de classe C
1 au voisinage de (0, 0)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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différentes sortes de nœuds en dimension 2. Le théorème dit de la variété stable ciaprès ne fait pas non plus de distinction entre ces points, mais il donne des informations
sur les propriétés différentielles des orbites, permettant en outre de se ramener à des
espaces de phases de plus petite dimension.
Théorème 8.13 (de la variété stable) Soit f ∈ C
1 (U ; R
n ) un champ complet de flot
f. On suppose que v est un point fixe hyperbolique de l’équation différentielle u
=
f (u), et l’on note E
s et E
u , les sous-espaces stable et instable de d f (v) donnés par
le théorème 6.20 (p. 189). Alors il existe un voisinage V de v dans U tel que les
ensembles
W
s
loc = { w ∈ V ; f t (w) ∈ V , ∀t ∈ R
+
} , W
u
loc = { w ∈ V ; f t (w) ∈ V , ∀t ∈ R
−
}
soient des graphes de fonctions différentiables « au dessus » de voisinages de v dans
les sous-espaces affines v + E
s et v + E
u respectivement, de différentielles nulles en
v. (On dit que ce sont des variétés (à bord) contenant v, tangentes respectivement
à E
s et E
u .) De plus, W
s
loc est positivement invariante par le flot, c’est-à-dire que
f t (W
s
loc ) ⊂ W
s
loc pour tout t ≥ 0, tandis que f t (W
u
loc ) ⊂ W
u
loc pour tout t ≤ 0, et
l’on a
W
s
loc = { w ∈ V ; lim
t→+∞
f t (w) = v } ,
W
u
loc = { w ∈ V ; lim
t→−∞
f t (w) = v } .
Définition 8.14 Les ensembles W
s
loc et W
u
loc sont appelés respectivement variété
stable locale et variété instable locale.
Nous allons voir une démonstration du théorème de la variété stable (locale) à l’aide
de la méthode de Lyapunov–Schmidt
➤ Méthode de Lyapunov–Schmidt
Cette méthode permet de résoudre des problèmes non-linéaires auxquels le théorème
des fonctions implicites ne s’applique pas directement. Plus précisément, considérons
une fonction F de la forme
F(x, j) = Bx − G(x, j)
pour (x, j) ∈ X × R
p , où X est un espace de Banach, B ∈ L(X; Z) avec Z un autre
espace de Banach, et G ∈ C
1 (X × R
p ; Z) est telle que
1
G(0, 0) = 0 , d x G(0, 0) = 0 .
La méthode de Lyapunov–Schmidt est fondée sur une conséquence du
1. Il suffit en fait que G soit de classe C
1 au voisinage de (0, 0)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit