270
8 • Stabilité des solutions stationnaires
si de plus k a été choisi inférieur à x/(2C).
En résumé on a trouvé ´ 0 > 0 tel que pour tout h > 0 il existe T > 0 et une
solution u ∈ C
1 ([0, T ]) vérifiant u(0) − v ≤ h et u(T ) − v ≥ ´ 0 , ce
qu’il fallait démontrer pour que v soit instable.
8.3 POINTS FIXES HYPERBOLIQUES
Passons maintenant aux questions de stabilité structurelle, c’est-à-dire de sensibilité
par rapport aux perturbations de l’équation elle-même (et non des données initiales).
La classification des points fixes dans le plan (voir le paragraphe 6.3.1) montre que
les centres (correspondant à une matrice A ∈ M 2 (R) dont les valeurs propres sont
imaginaires pures) jouent un rôle particulier, au sens où ils ne sont pas structurellement
stables : une modification arbitrairement petite de la matrice
0 b
− b 0
en
a b
− b a
avec |a| | 1 modifie dramatiquement le portrait de phase au voisinage du point (0, 0).
Ces points sont les prototypes de points fixes non hyperboliques.
Définition 8.11 Un point singulier v d’un champ f ∈ C
1 (U ; E) est dit hyperbolique
si le spectre de l’opérateur d f (v) n’intersecte pas l’axe imaginaire. On dit aussi que
c’est un point fixe hyperbolique pour l’équation u
= f (u).
Les points fixes hyperboliques sont précisément ceux qui sont structurellement
stables, au sens topologique du terme. C’est l’objet du théorème suivant, que nous
admettrons (voir [16, p. 244]).
Théorème 8.12 (Hartman–Grobman) Si v est un point fixe hyperbolique de l’équation différentielle u
= f (u), pour un champ complet f ∈ C
1 (U ; R
n ), U un ouvert
de R
n , il existe un voisinage V de v dans U , un voisinage O de 0 dans R
n et un
homéomorphisme h de V sur O tel que le flot f du champ f vérifie :
h(f t (w)) = e
t d f (v) h(w)
pour tout w ∈ V et t ∈ R.
Ce théorème signifie que l’on peut déformer continûment les orbites au voisinage
de v pour obtenir les orbites du système linéarisé
du
dt
= d f (v) · (u − v) ,
et réciproquement. Il ne dit rien sur les propriétés de nature différentielle (tangentes,
courbure, etc.) de ces courbes. En particulier, il ne fait pas la distinction entre les
8 • Stabilité des solutions stationnaires
si de plus k a été choisi inférieur à x/(2C).
En résumé on a trouvé ´ 0 > 0 tel que pour tout h > 0 il existe T > 0 et une
solution u ∈ C
1 ([0, T ]) vérifiant u(0) − v ≤ h et u(T ) − v ≥ ´ 0 , ce
qu’il fallait démontrer pour que v soit instable.
8.3 POINTS FIXES HYPERBOLIQUES
Passons maintenant aux questions de stabilité structurelle, c’est-à-dire de sensibilité
par rapport aux perturbations de l’équation elle-même (et non des données initiales).
La classification des points fixes dans le plan (voir le paragraphe 6.3.1) montre que
les centres (correspondant à une matrice A ∈ M 2 (R) dont les valeurs propres sont
imaginaires pures) jouent un rôle particulier, au sens où ils ne sont pas structurellement
stables : une modification arbitrairement petite de la matrice
0 b
− b 0
en
a b
− b a
avec |a| | 1 modifie dramatiquement le portrait de phase au voisinage du point (0, 0).
Ces points sont les prototypes de points fixes non hyperboliques.
Définition 8.11 Un point singulier v d’un champ f ∈ C
1 (U ; E) est dit hyperbolique
si le spectre de l’opérateur d f (v) n’intersecte pas l’axe imaginaire. On dit aussi que
c’est un point fixe hyperbolique pour l’équation u
= f (u).
Les points fixes hyperboliques sont précisément ceux qui sont structurellement
stables, au sens topologique du terme. C’est l’objet du théorème suivant, que nous
admettrons (voir [16, p. 244]).
Théorème 8.12 (Hartman–Grobman) Si v est un point fixe hyperbolique de l’équation différentielle u
= f (u), pour un champ complet f ∈ C
1 (U ; R
n ), U un ouvert
de R
n , il existe un voisinage V de v dans U , un voisinage O de 0 dans R
n et un
homéomorphisme h de V sur O tel que le flot f du champ f vérifie :
h(f t (w)) = e
t d f (v) h(w)
pour tout w ∈ V et t ∈ R.
Ce théorème signifie que l’on peut déformer continûment les orbites au voisinage
de v pour obtenir les orbites du système linéarisé
du
dt
= d f (v) · (u − v) ,
et réciproquement. Il ne dit rien sur les propriétés de nature différentielle (tangentes,
courbure, etc.) de ces courbes. En particulier, il ne fait pas la distinction entre les