8.2 Approche spectrale
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Puisque w(0) = 0 on a trivialement i). Pour ii) il faudra s’assurer que
b <
1
2g
ln
r
Cd 2
,
c’est-à-dire simplement k
2 < r /C (tout en ayant k ≤ r 0 /x, pour que
b ≤ T d ). L’essentiel du travail consiste donc à montrer iii).
Prenons r = bk
2 avec b ∈]0, r 0 /k
2 ] un paramètre auxiliaire. Pour tout
t ∈ J ∩ [0, b], si w(s) < r pour tout s ∈ [0, t] alors d’après l’inégalité
(8.1) au point s (au lieu de t)
w(s) ≤ 2C 0 C ´ e
(g+´)s
s
0
d
2 e
(g−´)s
x
2 + bk
2 e
−(g+´)s
w(s)
ds .
(8.2)
De cette inéquation intégrale linéaire on peut déduire une estimation de w
sur [0, t] par le lemme de Gronwall. Pour plus de clarté, faisons le calcul
explicitement. On considère la fonction auxiliaire
z : s → z(s) =
s
0
d
2 e
(g−´)s
x
2 + bk
2 e
−(g+´)s
w(s)
ds .
D’après (8.2) on a pour tout s ∈ [0, t],
z
(s) ≤ d
2 e
(g−´)s
x
2 + 2 C 0 C ´ bk
2 z(s) ,
d’où par intégration sur [0, s], en supposant désormais ´ ≤ g/4 et
2 C 0 C ´ bk
2
≤ g/4,
z(s) ≤
2
g
d
2 e
(g−´)s
x
2 ,
et en reportant dans (8.2), w(s) ≤ Cd
2 e
2gs avec C := 4C 0 C ´ x
2 /g.
Cette constante étant donnée, on choisit b > C puis k ∈]0, r 0 /x[ tel que
k
2
≤ r 0 /b et enfin r = bk
2 : ainsi on a bien r ≤ r 0 et k
2 < r /C. La
proposition 7.6 montre alors que pour tout t ∈ [0, b],
w(t) ≤ Cd
2 e
2gt < r ,
et l’on déduit du théorème 7.5 que sup J ≥ b.
La fin de la démonstration est quasiment immédiate. Pour tout h > 0, pour
tout d ∈]0, k[ tel que dx ≤ h, pour T =
1
g ln
k
d
il existe une solution
u = v +u +w ∈ C
1 ([0, T ]) satisfaisant d’une part u(0)−v = u (0) =
dx ≤ h, et d’autre part, u (T ) = k x et w(T ) ≤ C k
2 , d’où
u(T ) − v ≥ k x − C k
2
≥
1
2
kx =: ´ 0 > 0
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