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8 • Stabilité des solutions stationnaires
incluse dans le demi-plan {z ∈ C ; Re z ≤ g + ´}. Grâce à la formule de
Dunford-Taylor sur cette courbe, on en déduit l’existence d’une constante
C ´ > 0 telle que pour tout t ∈ R
+ ,
e
t A
≤ C ´ e
(g+´)t .
Soit d > 0 un second paramètre à ajuster ultérieurement. Alors u : t →
d e
lt x est solution de l’équation linéarisée u
= A u. En posant u = v +
u + w, il s’agit de contrôler la solution de l’équation w
= A w + g(u +w),
avec g(w) := f (v + w) − d f (v) · w , pour la donnée initiale w(0) = 0.
On considère la solution maximale w ∈ C
1 (J ; E) de ce problème. Par la
formule de Duhamel et la majoration de e
t A
obtenue précédemment on a
w(t) ≤ C ´
t
0
e
(g+´)(t−s)
g(u (s) + w(s)) ds
pour tout t ∈ J , t ≥ 0. Or comme g(0) = 0, dg(0) = 0, d’après la formule
de Taylor–Lagrange, il existe r 0 > 0 et C 0 > 0 tel que w ≤ 2r 0 implique
g(w) ≤ C 0 w
2 . Dans la suite, pour d ∈]0, r 0 /x[ on note,
T d :=
1
g
ln
r 0
dx
> 0 .
Comme par définition, u (t) = dx e
gt , on a u (t) ≤ r 0 pour tout
t ∈ [0, T d ]. Par conséquent, pour tout t ∈ J ∩ [0, T d ], si w(t) < r 0 alors
g(u (t) + w(t)) ≤ 2 C 0 (u (t)
2 + w(t)
2 ) .
Ainsi, pour tout t ∈ J ∩ [0, T d ] tel que w(s) < r 0 quel que soit s ∈ [0, t],
w(t) ≤ 2 C 0 C ´ e
(g+´)t
t
0
d
2 e
(g−´)s
x
2 + e
−(g+´)s
w(s)
2
ds .
(8.1)
Grâce à cette propriété, nous allons montrer qu’il existe r ∈]0, r 0 ], C > 0
et k ∈]0, r 0 /x], tels que l’on puisse appliquer, pour tout d ∈]0, k[, la
proposition 7.6 (« bootstrap ») à z(t) := w(t) et w(t) := Cd
2 e
2gt sur
[0, b[ avec b :=
1
g
ln
k
d
≤ min(T d , sup J ). Les hypothèses à satisfaire
sont :
i). w(0) < r
ii). pour tout t ∈ [0, b[, Cd
2 e
2gt < r ,
iii). si t ∈]0, b[ est tel que w(s) < r pour tout s ∈ [0, t] alors w(s) ≤
Cd
2 e
2gs pour tout s ∈ [0, t].