8.2 Approche spectrale
267
D’après les majorations de g et e
t A
et la formule intégrale pour u, on
a pour tout s ∈ [0, t],
u(s) − v ≤ C 1 e
−bs
u(0) − v + C 0 C 1 r
s
0
e
−b(s−s)
u(s) − v ds .
Autrement dit, la fonction f : s → e
bs
u(s) − v vérifie l’inéquation
intégrale linéaire
f (s) ≤ C 1 f (0) + C 0 C 1 r
s
0
f (s) ds
pour tout s ∈ [0, t]. C’est un cas d’application du lemme de Gronwall
(lemme 5.4 p. 140), qui donne simplement f (s) ≤ C 1 f (0) e
C 0 C 1 r s pour
tout s ∈ [0, t], d’où
u(s) − v ≤ C 1 e
−(b−C 0 C 1 r)s
u(0) − v .
On peut maintenant préciser le choix des paramètres : on choisit d’abord
r ∈]0, r 0 ] tel que C 0 C 1 r ≤ b/2 par exemple, de sorte que b − C 0 C 1 r ≥
g := b/2, puis h ∈]0, min(r , r /C 1 )[.
Ainsi, la proposition 7.6 montre que
u(t) − v ≤ C 1 h e
−gt < r pour tout t ∈ J ∩ R
+ ,
et le théorème 7.5 implique que J ∩ R
+ = R
+ . Comme r ≤ r 0 ≤ ´, on a bien
u(t) − v ≤ ´ pour tout t ∈ R
+ . Et puisque g > 0, lim t→+∞ u(t) − v =
0.
D’autre part, l’instabilité spectrale implique l’instabilité non-linéaire.
Théorème 8.10 Soient f ∈ C
2 (U ; E) et v ∈ U tel que f (v) = 0. On suppose
que max{Re l ; l ∈ s(d f (v))} est atteint en une valeur propre de d f (v) de partie
réelle strictement positive. Alors v est un point d’équilibre instable pour l’équation
u
= f (u).
Démonstration. On cherche ´ 0 > 0 tel que pour tout h > 0 il existe T > 0
et une solution u ∈ C
1 ([0, T ]) vérifiant u(0)−v ≤ h et u(T )−v ≥ ´ 0 .
Les ingrédients de la démonstration sont essentiellement les mêmes que
pour le théorème 8.9, bien que sa mise en place (en particulier le choix des
paramètres) soit un peu plus compliquée. On note A = d f (v), g = Re l,
et x un vecteur propre associé à l (dans le complexifié de E).
Soit ´ > 0 (sur lequel on introduira par la suite une condition de petitesse).
L’hypothèse sur le spectre de A permet de l’entourer par une courbe fermée
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
267
D’après les majorations de g et e
t A
et la formule intégrale pour u, on
a pour tout s ∈ [0, t],
u(s) − v ≤ C 1 e
−bs
u(0) − v + C 0 C 1 r
s
0
e
−b(s−s)
u(s) − v ds .
Autrement dit, la fonction f : s → e
bs
u(s) − v vérifie l’inéquation
intégrale linéaire
f (s) ≤ C 1 f (0) + C 0 C 1 r
s
0
f (s) ds
pour tout s ∈ [0, t]. C’est un cas d’application du lemme de Gronwall
(lemme 5.4 p. 140), qui donne simplement f (s) ≤ C 1 f (0) e
C 0 C 1 r s pour
tout s ∈ [0, t], d’où
u(s) − v ≤ C 1 e
−(b−C 0 C 1 r)s
u(0) − v .
On peut maintenant préciser le choix des paramètres : on choisit d’abord
r ∈]0, r 0 ] tel que C 0 C 1 r ≤ b/2 par exemple, de sorte que b − C 0 C 1 r ≥
g := b/2, puis h ∈]0, min(r , r /C 1 )[.
Ainsi, la proposition 7.6 montre que
u(t) − v ≤ C 1 h e
−gt < r pour tout t ∈ J ∩ R
+ ,
et le théorème 7.5 implique que J ∩ R
+ = R
+ . Comme r ≤ r 0 ≤ ´, on a bien
u(t) − v ≤ ´ pour tout t ∈ R
+ . Et puisque g > 0, lim t→+∞ u(t) − v =
0.
D’autre part, l’instabilité spectrale implique l’instabilité non-linéaire.
Théorème 8.10 Soient f ∈ C
2 (U ; E) et v ∈ U tel que f (v) = 0. On suppose
que max{Re l ; l ∈ s(d f (v))} est atteint en une valeur propre de d f (v) de partie
réelle strictement positive. Alors v est un point d’équilibre instable pour l’équation
u
= f (u).
Démonstration. On cherche ´ 0 > 0 tel que pour tout h > 0 il existe T > 0
et une solution u ∈ C
1 ([0, T ]) vérifiant u(0)−v ≤ h et u(T )−v ≥ ´ 0 .
Les ingrédients de la démonstration sont essentiellement les mêmes que
pour le théorème 8.9, bien que sa mise en place (en particulier le choix des
paramètres) soit un peu plus compliquée. On note A = d f (v), g = Re l,
et x un vecteur propre associé à l (dans le complexifié de E).
Soit ´ > 0 (sur lequel on introduira par la suite une condition de petitesse).
L’hypothèse sur le spectre de A permet de l’entourer par une courbe fermée
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit