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8 • Stabilité des solutions stationnaires
Premièrement, la stabilité spectrale au sens fort implique la stabilité non-linéaire, et
ceci même en dimension infinie.
Théorème 8.9 Soient f : U → E de classe C
2 sur un ouvert U d’un espace de
Banach E et v ∈ U tel que f (v) = 0. Si le spectre de d f (v) est inclus dans le demiplan ouvert {l ; Re l < 0} alors v est un point d’équilibre asymptotiquement stable
pour l’équation u
= f (u).
Démonstration. Elle repose sur les outils introduits dans la démonstration
du théorème 6.20 (p. 189), et sur un argument de « bootstrap » allié au
théorème 7.5 (p. 224). Soit ´ > 0. On veut montrer qu’il existe h > 0
tel que pour tout u 0 ∈ E tel que u 0 − v ≤ h, la solution maximale
de u
= f (u) vérifiant u(0) = u 0 est définie pour tout t ≥ 0, telle que
u(t) − v ≤ ´ pour tout t ≥ 0, et lim t→+∞ u(t) − v = 0 .
On commence par observer que, puisque le spectre de A := d f (v) est
compact (voir p. 185) et inclus dans {l ; Re l < 0}, il existe b > 0 et
une courbe fermée simple G incluse dans un demi-plan {l ; Re l ≤ −b}
entourant l’ensemble du spectre de A. De la formule de Dunford-Taylor
on déduit alors l’existence de C 1 > 0 tel que e
t A
≤ C 1 e
−bt pour
tout t ∈ R
+ . Par ailleurs, d’après la formule de Duhamel, une fonction
u ∈ C
1 (J ; E) est solution de u
= f (u) sur un intervalle J contenant 0 si et
seulement si
u(t) − v = e
t A (u(0) − v) +
t
0
e
(t−s)A g(u(s)) ds pour tout t ∈ J ,
où g(u) := f (u) − d f (v) · (u − v) (rappelons que f (v) = 0)). D’après la
formule de Taylor (avec reste intégral, en utilisant que d
2 g est localement
bornée), il existe r 0 ∈]0, ´] et C 0 > 0 tels que u − v ≤ r 0 implique
g(u) ≤ C 0 u − v
2 . (En dimension finie, où les boules fermées sont
compactes, on a une telle majoration quel que soit r 0 .) Grâce à cette majoration et à celle de e
t A
, on va montrer que la proposition 7.6 (« bootstrap », p. 225) s’applique sur J ∩ R
+ à r ∈]0, r 0 ] convenablement choisi,
z(t) := u(t) − v et w(t) de la forme C 1 h e
−gt , où g ∈]0, b[ est indépendant de h ∈]0, min(r , r /C 1 )[ et de u ∈ C
1 (J ; E) solution de u
= f (u) telle
que u(0) − v ≤ h.
Le premier point à vérifier est évident dès lors que h < r : si u(0) − v ≤ h
alors u(0) − v < r . Le deuxième point demande que C 1 h e
−gt < r pour
tout t ≥ 0, ce qui sera le cas si h < r /C 1 . Le dernier point est celui qui
demande un peu de travail. Soit t ∈ J ∩R
+ , où J est l’intervalle de définition
de u, une solution maximale de u
= f (u). On suppose que u(s) − v < r
pour tout s ∈ [0, t] et l’on veut en déduire une majoration de la forme
u(s) − v ≤ C 1 h e
−gs
pour tout s ∈ [0, t] .
8 • Stabilité des solutions stationnaires
Premièrement, la stabilité spectrale au sens fort implique la stabilité non-linéaire, et
ceci même en dimension infinie.
Théorème 8.9 Soient f : U → E de classe C
2 sur un ouvert U d’un espace de
Banach E et v ∈ U tel que f (v) = 0. Si le spectre de d f (v) est inclus dans le demiplan ouvert {l ; Re l < 0} alors v est un point d’équilibre asymptotiquement stable
pour l’équation u
= f (u).
Démonstration. Elle repose sur les outils introduits dans la démonstration
du théorème 6.20 (p. 189), et sur un argument de « bootstrap » allié au
théorème 7.5 (p. 224). Soit ´ > 0. On veut montrer qu’il existe h > 0
tel que pour tout u 0 ∈ E tel que u 0 − v ≤ h, la solution maximale
de u
= f (u) vérifiant u(0) = u 0 est définie pour tout t ≥ 0, telle que
u(t) − v ≤ ´ pour tout t ≥ 0, et lim t→+∞ u(t) − v = 0 .
On commence par observer que, puisque le spectre de A := d f (v) est
compact (voir p. 185) et inclus dans {l ; Re l < 0}, il existe b > 0 et
une courbe fermée simple G incluse dans un demi-plan {l ; Re l ≤ −b}
entourant l’ensemble du spectre de A. De la formule de Dunford-Taylor
on déduit alors l’existence de C 1 > 0 tel que e
t A
≤ C 1 e
−bt pour
tout t ∈ R
+ . Par ailleurs, d’après la formule de Duhamel, une fonction
u ∈ C
1 (J ; E) est solution de u
= f (u) sur un intervalle J contenant 0 si et
seulement si
u(t) − v = e
t A (u(0) − v) +
t
0
e
(t−s)A g(u(s)) ds pour tout t ∈ J ,
où g(u) := f (u) − d f (v) · (u − v) (rappelons que f (v) = 0)). D’après la
formule de Taylor (avec reste intégral, en utilisant que d
2 g est localement
bornée), il existe r 0 ∈]0, ´] et C 0 > 0 tels que u − v ≤ r 0 implique
g(u) ≤ C 0 u − v
2 . (En dimension finie, où les boules fermées sont
compactes, on a une telle majoration quel que soit r 0 .) Grâce à cette majoration et à celle de e
t A
, on va montrer que la proposition 7.6 (« bootstrap », p. 225) s’applique sur J ∩ R
+ à r ∈]0, r 0 ] convenablement choisi,
z(t) := u(t) − v et w(t) de la forme C 1 h e
−gt , où g ∈]0, b[ est indépendant de h ∈]0, min(r , r /C 1 )[ et de u ∈ C
1 (J ; E) solution de u
= f (u) telle
que u(0) − v ≤ h.
Le premier point à vérifier est évident dès lors que h < r : si u(0) − v ≤ h
alors u(0) − v < r . Le deuxième point demande que C 1 h e
−gt < r pour
tout t ≥ 0, ce qui sera le cas si h < r /C 1 . Le dernier point est celui qui
demande un peu de travail. Soit t ∈ J ∩R
+ , où J est l’intervalle de définition
de u, une solution maximale de u
= f (u). On suppose que u(s) − v < r
pour tout s ∈ [0, t] et l’on veut en déduire une majoration de la forme
u(s) − v ≤ C 1 h e
−gs
pour tout s ∈ [0, t] .