8.2 Approche spectrale
265
et Dq(u) A u ≤ − b q(u) avec a et b > 0. Alors F(w) := q(w − v)
définit une fonction de Lyapunov forte pour le champ f . En effet, on a :
F(v) = 0 , DF(v) = Dq(0) = 0 n , HessF(v) = Hessq(0) ≥ a I n .
De plus, d’après la formule de Taylor avec reste intégral,
f (w) = d f (v) · (w − v) + B(v, w) · (w − v, w − v)
où B(v, w) est l’application bilinéaire définie par :
B(v, w) =
1
0
(1 − u) d
2 f (v + u(w − v)) du .
En particulier, il existe c > 0 tel que pour w − v ≤ 1 :
B(v, w) · (w − v, w − v) ≤ c w − v
2
≤
2c
a Q (w − v)
2 .
Or DF(w) f (w) = 2 Re ((w − v)
∗ Q
∗ Q f (w)) =
Dq(w − v) A (w − v) + 2Re ((w − v)
∗ Q
∗ Q B(v, w) · (w − v, w − v))
≤ − b F(w) +
4c
a Q Q(w − v)
3
≤ − (b −
4c
a Q
2
w − v) F(w)
par l’inégalité de Cauchy–Schwarz et la minoration de Q
∗ Q. Pour w −
v ≤ a b/(8 c Q
2 ) on a donc DF(w) f (w) ≤ − (b/2) F(w) . Ceci
montre que F est une fonction de Lyapunov forte pour f au point v, et
l’équilibre v est donc asymptotiquement stable d’après le théorème 8.5.
Il existe divers outils pour le calcul, exact ou approché, des valeurs propres d’une
matrice (voir par exemple [27, chap. 10]), ou bien encore pour la détermination du
nombre de valeurs propres de partie réelle négative (théorème de Routh–Hurwitz, voir
[14]). Cependant pour un « gros » système, il peut être plus facile de trouver une
fonction de Lyapunov que de montrer la stabilité spectrale. La recherche de fonctions
de Lyapunov est donc très importante. C’est d’autant plus vrai en dimension infinie
car bien que l’on puisse en théorie avoir recours à la généralisation du théorème 8.7
(théorème 8.9 ci-après), le spectre du linéarisé est en général difficile à localiser (il n’y
a pas de polynôme caractéristique en dimension infinie).
8.2 APPROCHE SPECTRALE
Malgré les limites que l’on vient de signaler, l’approche spectrale peut dans certains
cas permettre de démontrer de la stabilité ou de l’instabilité, grâce aux deux théorèmes
suivants.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
265
et Dq(u) A u ≤ − b q(u) avec a et b > 0. Alors F(w) := q(w − v)
définit une fonction de Lyapunov forte pour le champ f . En effet, on a :
F(v) = 0 , DF(v) = Dq(0) = 0 n , HessF(v) = Hessq(0) ≥ a I n .
De plus, d’après la formule de Taylor avec reste intégral,
f (w) = d f (v) · (w − v) + B(v, w) · (w − v, w − v)
où B(v, w) est l’application bilinéaire définie par :
B(v, w) =
1
0
(1 − u) d
2 f (v + u(w − v)) du .
En particulier, il existe c > 0 tel que pour w − v ≤ 1 :
B(v, w) · (w − v, w − v) ≤ c w − v
2
≤
2c
a Q (w − v)
2 .
Or DF(w) f (w) = 2 Re ((w − v)
∗ Q
∗ Q f (w)) =
Dq(w − v) A (w − v) + 2Re ((w − v)
∗ Q
∗ Q B(v, w) · (w − v, w − v))
≤ − b F(w) +
4c
a Q Q(w − v)
3
≤ − (b −
4c
a Q
2
w − v) F(w)
par l’inégalité de Cauchy–Schwarz et la minoration de Q
∗ Q. Pour w −
v ≤ a b/(8 c Q
2 ) on a donc DF(w) f (w) ≤ − (b/2) F(w) . Ceci
montre que F est une fonction de Lyapunov forte pour f au point v, et
l’équilibre v est donc asymptotiquement stable d’après le théorème 8.5.
Il existe divers outils pour le calcul, exact ou approché, des valeurs propres d’une
matrice (voir par exemple [27, chap. 10]), ou bien encore pour la détermination du
nombre de valeurs propres de partie réelle négative (théorème de Routh–Hurwitz, voir
[14]). Cependant pour un « gros » système, il peut être plus facile de trouver une
fonction de Lyapunov que de montrer la stabilité spectrale. La recherche de fonctions
de Lyapunov est donc très importante. C’est d’autant plus vrai en dimension infinie
car bien que l’on puisse en théorie avoir recours à la généralisation du théorème 8.7
(théorème 8.9 ci-après), le spectre du linéarisé est en général difficile à localiser (il n’y
a pas de polynôme caractéristique en dimension infinie).
8.2 APPROCHE SPECTRALE
Malgré les limites que l’on vient de signaler, l’approche spectrale peut dans certains
cas permettre de démontrer de la stabilité ou de l’instabilité, grâce aux deux théorèmes
suivants.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit