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8 • Stabilité des solutions stationnaires
tout j ∈ {1, . . . , n} :
a(e j ) = l j e j +
j−1
i=1
b i j e i ,
puis on dilate les vecteurs de base en e j = h
j e j , de sorte que
a( e j ) − l j e j =
j−1
i=1
b i j h
j−i
e i .
Autrement dit, on a P
−1 A P = D + C avec P la matrice de vecteurs
colonnes e 1 , . . . , e n et C la matrice triangulaire supérieure de coefficients
c i j := b i j h
j−i pour i ≤ j − 1 (et c i j = 0 pour i ≥ j). Cette matrice est
de norme inférieure à ´ pourvu que h < min(1, ´/B).
Soient alors Q := P
−1
´
et q(u) := u
∗ Q
∗ Qu = Q u
2 . On a
q(0) = 0 , dq(u) · h = u
∗ Q
∗ Q h + h
∗ Q
∗ Q u , Hessq(u) = 2 Q
∗ Q .
Comme Q
∗ Q est hermitienne définie positive, la fonction q admet bien un
minimum local strict en 0 (on a Q
∗ Q ≥ a I n avec a = min h=1 Qh
2 ).
De plus, Dq(u) A u = 2 Re (u
∗ Q
∗ Q A u) =
2 Re (u
∗ Q
∗ D Q u) + 2 Re (u
∗ Q
∗ C Q u) .
D’après l’inégalité de Cauchy–Schwarz, on a
Re (u
∗ Q
∗ C Q u) ≤ ≤ Q u C Q u ≤ ´ Q u
2
par construction de C. Donc, si b = − max j Re l j , on a
Dq(u) A u ≤ − 2 (b − ´) q(u) ,
ce qui implique que q est une fonction de Lyapunov forte pourvu qu’on ait
choisi ´ < b.
Démonstration. [Théorème 8.7] On peut appliquer le lemme 8.8 à la
matrice jacobienne A = D f (v). On a ainsi une forme quadratique
q(u) = Q u
2 , telle que
q(0) = 0 , Dq(0) = 0 n , Hessq(0) = 2 Q
∗ Q ≥ a I n