8.1 Théorie de Lyapunov
263
iii). Il y a parfois une fonction de Lyapunov forte « évidente », comme pour
certains systèmes gradient, c’est-à-dire de la forme
du
dt
= − gradV (u) .
Si V a un minimum local strict en v et si dV se n’annule pas au voisinage de
v en dehors de v, alors V est une fonction de Lyapunov forte au point v, car
− dV (u) · gradV (u) = − −gradV (u)
2 < 0.
Théorème 8.7 (Lyapunov n
◦ 3) Soit v un point d’équilibre du champ f ∈ C
1 (U ; R
n ),
U ⊂ R
n . On suppose que la matrice jacobienne D f (v) a toutes ses valeurs propres
de partie réelle strictement négative. Alors v est asymptotiquement stable.
Les théorèmes 8.2 et 8.7 montrent ainsi qu’en dimension finie, si 0 est un point
d’équilibre asymptotiquement stable du système linéarisé autour d’un point d’équilibre
v :
du
dt
= D f (v) u ,
alors v est asymptotiquement stable pour le système non-linéaire. La stabilité asymptotique pour le système linéarisé étant d’après le théorème 8.2 équivalente à la
stabilité spectrale, c’est-à-dire au fait que le spectre du linéarisé soit inclus dans
{ l ∈ C ; Re l < 0 }, on peut même dire que la stabilité spectrale implique la stabilité non-linéaire. On verra au paragraphe 8.2 que ce résultat très fort reste vrai pour les
équations différentielles ordinaires dans les espaces de Banach de dimension infinie :
ceci contraste avec ce que l’on sait des équations aux dérivées partielles d’évolution,
pour lesquelles il en général difficile de montrer que la stabilité spectrale implique la
stabilité linéaire (et non-linéaire).
Pour démontrer le théorème 8.7, nous utiliserons le résultat préliminaire suivant.
Lemme 8.8 Soit A ∈ M n (R) dont les valeurs propres sont toutes de partie réelle
strictement négative. Alors l’équation u
= Au admet une une forme quadratique
comme fonction de Lyapunov forte.
Démonstration. On commence par « diagonaliser A à ´ près », c’est-à-dire
à trouver, pour tout ´ > 0, une matrice P ´ ∈ GL n (C) et une matrice C ´ ∈
M n (C) de norme (subordonnée à la norme hermitienne sur C
n ) inférieure
à ´ telles que P
−1
´
A P ´ = D + C ´ , avec D diagonale de coefficients
{l 1 , . . . , l n } les valeurs propres de A. Pour cela, il suffit de trigonaliser A
de façon particulière : si a est l’endomorphisme de matrice A dans la base
canonique de C
n , on choisit une base (e 1 , . . . , e n ) dans laquelle la matrice
de a soit une matrice triangulaire supérieure D + B, c’est-à-dire que pour
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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iii). Il y a parfois une fonction de Lyapunov forte « évidente », comme pour
certains systèmes gradient, c’est-à-dire de la forme
du
dt
= − gradV (u) .
Si V a un minimum local strict en v et si dV se n’annule pas au voisinage de
v en dehors de v, alors V est une fonction de Lyapunov forte au point v, car
− dV (u) · gradV (u) = − −gradV (u)
2 < 0.
Théorème 8.7 (Lyapunov n
◦ 3) Soit v un point d’équilibre du champ f ∈ C
1 (U ; R
n ),
U ⊂ R
n . On suppose que la matrice jacobienne D f (v) a toutes ses valeurs propres
de partie réelle strictement négative. Alors v est asymptotiquement stable.
Les théorèmes 8.2 et 8.7 montrent ainsi qu’en dimension finie, si 0 est un point
d’équilibre asymptotiquement stable du système linéarisé autour d’un point d’équilibre
v :
du
dt
= D f (v) u ,
alors v est asymptotiquement stable pour le système non-linéaire. La stabilité asymptotique pour le système linéarisé étant d’après le théorème 8.2 équivalente à la
stabilité spectrale, c’est-à-dire au fait que le spectre du linéarisé soit inclus dans
{ l ∈ C ; Re l < 0 }, on peut même dire que la stabilité spectrale implique la stabilité non-linéaire. On verra au paragraphe 8.2 que ce résultat très fort reste vrai pour les
équations différentielles ordinaires dans les espaces de Banach de dimension infinie :
ceci contraste avec ce que l’on sait des équations aux dérivées partielles d’évolution,
pour lesquelles il en général difficile de montrer que la stabilité spectrale implique la
stabilité linéaire (et non-linéaire).
Pour démontrer le théorème 8.7, nous utiliserons le résultat préliminaire suivant.
Lemme 8.8 Soit A ∈ M n (R) dont les valeurs propres sont toutes de partie réelle
strictement négative. Alors l’équation u
= Au admet une une forme quadratique
comme fonction de Lyapunov forte.
Démonstration. On commence par « diagonaliser A à ´ près », c’est-à-dire
à trouver, pour tout ´ > 0, une matrice P ´ ∈ GL n (C) et une matrice C ´ ∈
M n (C) de norme (subordonnée à la norme hermitienne sur C
n ) inférieure
à ´ telles que P
−1
´
A P ´ = D + C ´ , avec D diagonale de coefficients
{l 1 , . . . , l n } les valeurs propres de A. Pour cela, il suffit de trigonaliser A
de façon particulière : si a est l’endomorphisme de matrice A dans la base
canonique de C
n , on choisit une base (e 1 , . . . , e n ) dans laquelle la matrice
de a soit une matrice triangulaire supérieure D + B, c’est-à-dire que pour
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit