262
8 • Stabilité des solutions stationnaires
ce qui implique par intégration :
( F(f t (w)) − F(v) ) ≤ ( F(w) − F(v) ) e
− b t .
Or par construction de h 1 on a
F(f t (w)) − F(v) ≥
a
4
f t (w) − v
2
avec a > 0. Comme b > 0 on en déduit que f t (w) − v tend vers 0 lorsque
t → +∞.
Définition 8.6 Une fonction F vérifiant les hypothèses du théorème 8.5 est appelée
une fonction de Lyapunov forte.
Remarque :
i). En dimension finie, on peut à nouveau affaiblir ces hypothèses et se contenter
d’une fonction F de classe C
1 ayant un minimum local strict en v telle que
dF(w) · f (w) < 0 pour w
= v au voisinage de v : on démontre alors par
l’absurde que l’ensemble v-limite de w est le singleton {v} (s’il existait
t n → +∞ tel que lim n→+∞ f t n (w) = w ∞ = v, on aurait pour t n > s > 0,
F(f t n (w)) < F(f s (w)) < F(w) , d’où F(w ∞ ) ≤ F(f s (w)) par continuité
de F ; par ailleurs, on aurait pour tout t > 0, lim n→+∞ F(f t+t n (w)) =
F(f t (w ∞ )) < F(w ∞ ) puisque w ∞ = v ; ceci contredirait, pour n assez
grand, l’inégalité F(w ∞ ) ≤ F(f t+t n (w)).)
ii). Une intégrale première ne peut pas être une fonction de Lyapunov forte.
Cependant, une intégrale première d’un système « approché » peut s’avérer
utile. Par exemple pour l’équation du pendule avec amortissement :
d
2 x
dt 2 + k
dx
dt
+ sin x = 0 , k > 0 ,
la fonction E (intégrale première dans le cas k = 0) définie par
E(x, x
) =
1
2
(x
)
2
− cos x
est décroissante le long des solutions :
d
dt
E(x(t), x
(t)) = x
(t) ( x
(t) + sin x(t) ) = − k (x
(t))
2 < 0
pour x
(t) = 0. C’est une fonction de Lyapunov aux points de la forme
(2kp, 0) ; ce n’est pas tout à fait une fonction de Lyapunov forte, mais elle
permet de montrer que ces points sont asymptotiquement stables (voir l’exercice 8.1).