8.1 Théorie de Lyapunov
261
pour tout h ∈ E avec h ≤ h 1 . Pour tout h ≤ h 1 , on a donc
inf
h=h
F(v + h) ≥ F(v) +
a
4
h
2 =: m h .
Par continuité de F, V h := { u ∈ B(v; h) ; F(u) < m h } est un voisinage
ouvert de v dans U . De plus, si w ∈ V h ,
F(f t (w)) ≤ F(w) < m h
pour t ∈ [0, t] et donc f t (w) − v reste strictement inférieur à h ≤ h 1 . En
particulier, f t (w) appartient à V h ⊂ B(v; h 0 ). On en déduit (comme dans le
théorème 7.5 p. 224) que pour tout w ∈ V h , f t (w) est défini pour tout t ≥ 0,
et à valeurs dans V h ⊂ W h := B(v; h). Les boules B(v; h) pour h ≤ h 1
formant une base de voisinages de v, ceci prouve bien la stabilité de v.
Définition 8.4 On appelle fonction de Lyapunov une fonction F vérifiant les hypothèses du théorème 8.3.
Remarque : En dimension finie, on peut se contenter d’une fonction F de classe
C
1 ayant un minimum local strict en v : il suffit alors dans la démonstration de
remplacer m h par min h=h F(v + h) (qui est atteint puisque la sphère de rayon
h est compacte).
➤ Exemple :
Une intégrale première ayant un minimum local (au sens strict de l’énoncé du théorème
8.3) en v est une fonction de Lyapunov.
Dans les modèles physiques, les fonctions de Lyapunov sont souvent reliées à une
énergie (voir la remarque p. 262 ci-après).
Théorème 8.5 (Lyapunov n
◦ 2) Soit v un point singulier de f ∈ C
1 (U ; E). On suppose qu’il existe un voisinage V de v dans U et une fonction de Lyapunov F ∈ C
2 (V)
pour laquelle
• il existe b > 0 tel que dF(u) · f (u) ≤ − b ( F(u) − F(v) ) pour tout u ∈ V .
Alors v est un point d’équilibre asymptotiquement stable.
Démonstration. D’après la preuve du théorème 8.3, il existe un voisinage
V h 1 de v inclus dans V tel que f t (V h 1 ) ⊂ V h 1 pour tout t ≥ 0. De plus, pour
tout w ∈ V h 1 on a
d
dt
(F(f t (w)) − F(v)) = dF(f t (w)) · f (f t (w)) ≤ −b(F(f t (w)) − F(v)) ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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pour tout h ∈ E avec h ≤ h 1 . Pour tout h ≤ h 1 , on a donc
inf
h=h
F(v + h) ≥ F(v) +
a
4
h
2 =: m h .
Par continuité de F, V h := { u ∈ B(v; h) ; F(u) < m h } est un voisinage
ouvert de v dans U . De plus, si w ∈ V h ,
F(f t (w)) ≤ F(w) < m h
pour t ∈ [0, t] et donc f t (w) − v reste strictement inférieur à h ≤ h 1 . En
particulier, f t (w) appartient à V h ⊂ B(v; h 0 ). On en déduit (comme dans le
théorème 7.5 p. 224) que pour tout w ∈ V h , f t (w) est défini pour tout t ≥ 0,
et à valeurs dans V h ⊂ W h := B(v; h). Les boules B(v; h) pour h ≤ h 1
formant une base de voisinages de v, ceci prouve bien la stabilité de v.
Définition 8.4 On appelle fonction de Lyapunov une fonction F vérifiant les hypothèses du théorème 8.3.
Remarque : En dimension finie, on peut se contenter d’une fonction F de classe
C
1 ayant un minimum local strict en v : il suffit alors dans la démonstration de
remplacer m h par min h=h F(v + h) (qui est atteint puisque la sphère de rayon
h est compacte).
➤ Exemple :
Une intégrale première ayant un minimum local (au sens strict de l’énoncé du théorème
8.3) en v est une fonction de Lyapunov.
Dans les modèles physiques, les fonctions de Lyapunov sont souvent reliées à une
énergie (voir la remarque p. 262 ci-après).
Théorème 8.5 (Lyapunov n
◦ 2) Soit v un point singulier de f ∈ C
1 (U ; E). On suppose qu’il existe un voisinage V de v dans U et une fonction de Lyapunov F ∈ C
2 (V)
pour laquelle
• il existe b > 0 tel que dF(u) · f (u) ≤ − b ( F(u) − F(v) ) pour tout u ∈ V .
Alors v est un point d’équilibre asymptotiquement stable.
Démonstration. D’après la preuve du théorème 8.3, il existe un voisinage
V h 1 de v inclus dans V tel que f t (V h 1 ) ⊂ V h 1 pour tout t ≥ 0. De plus, pour
tout w ∈ V h 1 on a
d
dt
(F(f t (w)) − F(v)) = dF(f t (w)) · f (f t (w)) ≤ −b(F(f t (w)) − F(v)) ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit