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8 • Stabilité des solutions stationnaires
Il est dit asymptotiquement stable si de plus il existe un voisinage V 1 ⊂ V 0 tel que,
iii). pour tout w ∈ V 1 , lim t→+∞ f t (w) = v.
On dit d’un point non stable qu’il est instable.
On a en fait déjà étudié la stabilité des équilibres pour les équations linéaires en
dimension finie. La proposition 6.12 (p. 182) montre le
Théorème 8.2 Soit A ∈ M n (R). Le point 0 est stable pour le champ linéaire u → Au
si et seulement si
i). les valeurs propres de A sont toutes de partie réelle négative ou nulle,
ii). les valeurs propres imaginaires pures de A sont semi-simples.
Le point 0 est asymptotiquement stable si et seulement si
iii). les valeurs propres de A sont toutes de partie réelle strictement négative.
En dimension infinie, c’est-à-dire pour une équation linéaire u
= Au avec A ∈
L(E) où E est de dimension infinie, on n’a pas de résultat aussi net. Toutefois, le
théorème 6.20 (p. 189) montre qu’une condition suffisante de stabilité asymptotique
est que le spectre de A soit inclus dans { l ∈ C ; Re l < 0 }.
Pour les équations non-linéaires, la stabilité des équilibres est plus délicate à étudier,
que ce soit en dimension finie ou a fortiori en dimension infinie. La théorie de Lyapunov fait appel à des fonctions particulières au voisinage de l’équilibre, permettant de
« contrôler » le comportement asymptotique des solutions pour des données initiales
dans ce voisinage.
Théorème 8.3 (Lyapunov n
◦ 1) Soit v un point singulier de f ∈ C
1 (U ; E). On suppose qu’il existe un voisinage V de v dans U et une fonction F ∈ C
2 (V), telle que
• le point v est un minimum local de F, d’où nécessairement dF(v) = 0, et de
plus il existe a > 0 tel que d
2 F(v) ≥ a Id E ,
• et la fonction F est décroissante le long des orbites issues de V , c’est-à-dire
dF(u) · f (u) ≤ 0 pour tout u ∈ V .
Alors v est un point d’équilibre stable.
Démonstration. Soit h 0 > 0 tel que f soit bornée, disons par M, et Lipschitzienne dans la boule B(v; 2 h 0 ) ⊂ V. Le lemme 5.8 montre que le flot
f t (w) est défini pour tout w ∈ B(v; h 0 ) et t ∈ [0, t] avec t := h 0 /(2M),
et à valeurs dans B(v; 2 h 0 ). D’après l’hypothèse sur F et la formule de
Taylor-Young à l’ordre 2, il existe h 1 ≤ h 0 tel que
F(v + h) − F(v) ≥
a
4 h
2
8 • Stabilité des solutions stationnaires
Il est dit asymptotiquement stable si de plus il existe un voisinage V 1 ⊂ V 0 tel que,
iii). pour tout w ∈ V 1 , lim t→+∞ f t (w) = v.
On dit d’un point non stable qu’il est instable.
On a en fait déjà étudié la stabilité des équilibres pour les équations linéaires en
dimension finie. La proposition 6.12 (p. 182) montre le
Théorème 8.2 Soit A ∈ M n (R). Le point 0 est stable pour le champ linéaire u → Au
si et seulement si
i). les valeurs propres de A sont toutes de partie réelle négative ou nulle,
ii). les valeurs propres imaginaires pures de A sont semi-simples.
Le point 0 est asymptotiquement stable si et seulement si
iii). les valeurs propres de A sont toutes de partie réelle strictement négative.
En dimension infinie, c’est-à-dire pour une équation linéaire u
= Au avec A ∈
L(E) où E est de dimension infinie, on n’a pas de résultat aussi net. Toutefois, le
théorème 6.20 (p. 189) montre qu’une condition suffisante de stabilité asymptotique
est que le spectre de A soit inclus dans { l ∈ C ; Re l < 0 }.
Pour les équations non-linéaires, la stabilité des équilibres est plus délicate à étudier,
que ce soit en dimension finie ou a fortiori en dimension infinie. La théorie de Lyapunov fait appel à des fonctions particulières au voisinage de l’équilibre, permettant de
« contrôler » le comportement asymptotique des solutions pour des données initiales
dans ce voisinage.
Théorème 8.3 (Lyapunov n
◦ 1) Soit v un point singulier de f ∈ C
1 (U ; E). On suppose qu’il existe un voisinage V de v dans U et une fonction F ∈ C
2 (V), telle que
• le point v est un minimum local de F, d’où nécessairement dF(v) = 0, et de
plus il existe a > 0 tel que d
2 F(v) ≥ a Id E ,
• et la fonction F est décroissante le long des orbites issues de V , c’est-à-dire
dF(u) · f (u) ≤ 0 pour tout u ∈ V .
Alors v est un point d’équilibre stable.
Démonstration. Soit h 0 > 0 tel que f soit bornée, disons par M, et Lipschitzienne dans la boule B(v; 2 h 0 ) ⊂ V. Le lemme 5.8 montre que le flot
f t (w) est défini pour tout w ∈ B(v; h 0 ) et t ∈ [0, t] avec t := h 0 /(2M),
et à valeurs dans B(v; 2 h 0 ). D’après l’hypothèse sur F et la formule de
Taylor-Young à l’ordre 2, il existe h 1 ≤ h 0 tel que
F(v + h) − F(v) ≥
a
4 h
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