Chapitre 8
Stabilité des solutions stationnaires
Les solutions stationnaires constituent des états d’équilibre dont la stabilité (ou l’instabilité) est cruciale du point de vue des applications : dans le « monde réel », un
système physique est toujours soumis à des perturbations, aussi infimes soient-elles, et
lorsqu’on cherche à le simuler numériquement avec un ordinateur, on commet nécessairement des erreurs de mesures et des erreurs d’arrondis (sans parler des approximations
inhérentes à la modélisation). On va s’intéresser ici à deux types de stabilité : l’une
concernant le comportement asymptotique des solutions pour des données initiales
proches d’une solution stationnaire ; l’autre concernant le portrait de phase autour
d’un point fixe et sa sensibilité aux perturbations (liées par exemple à des variations
de paramètres). Dans le premier cas, on parle de stabilité asymptotique (ou de stabilité
tout court), pour laquelle on peut avoir recours à la théorie de Lyapunov. Dans le
second cas, on parle de stabilité structurelle, ce qui amène aux notions de variétés
stable/instable/centrale et de bifurcations.
8.1 THÉORIE DE LYAPUNOV
Dans ce qui suit, U est un ouvert d’un espace de Banach E.
Définition 8.1 Soit un champ de vecteurs complet f ∈ C
1 (U ; E) de flot f. Un point
singulier v de f (c’est-à-dire tel que f (v) = 0 E ) est dit stable s’il existe un voisinage
V 0 de v dans U tel que
i). le flot f t (w) est défini pour tout t ≥ 0 et pour tout w ∈ V 0 ,
ii). pour tout voisinage W de v dans U , il existe un voisinage V ⊂ V 0 tel que f t (w)
appartient à W pour tout t ≥ 0 et pour tout w ∈ V.
Stabilité des solutions stationnaires
Les solutions stationnaires constituent des états d’équilibre dont la stabilité (ou l’instabilité) est cruciale du point de vue des applications : dans le « monde réel », un
système physique est toujours soumis à des perturbations, aussi infimes soient-elles, et
lorsqu’on cherche à le simuler numériquement avec un ordinateur, on commet nécessairement des erreurs de mesures et des erreurs d’arrondis (sans parler des approximations
inhérentes à la modélisation). On va s’intéresser ici à deux types de stabilité : l’une
concernant le comportement asymptotique des solutions pour des données initiales
proches d’une solution stationnaire ; l’autre concernant le portrait de phase autour
d’un point fixe et sa sensibilité aux perturbations (liées par exemple à des variations
de paramètres). Dans le premier cas, on parle de stabilité asymptotique (ou de stabilité
tout court), pour laquelle on peut avoir recours à la théorie de Lyapunov. Dans le
second cas, on parle de stabilité structurelle, ce qui amène aux notions de variétés
stable/instable/centrale et de bifurcations.
8.1 THÉORIE DE LYAPUNOV
Dans ce qui suit, U est un ouvert d’un espace de Banach E.
Définition 8.1 Soit un champ de vecteurs complet f ∈ C
1 (U ; E) de flot f. Un point
singulier v de f (c’est-à-dire tel que f (v) = 0 E ) est dit stable s’il existe un voisinage
V 0 de v dans U tel que
i). le flot f t (w) est défini pour tout t ≥ 0 et pour tout w ∈ V 0 ,
ii). pour tout voisinage W de v dans U , il existe un voisinage V ⊂ V 0 tel que f t (w)
appartient à W pour tout t ≥ 0 et pour tout w ∈ V.