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7 • Équations autonomes
x
y
Figure 7.8 Éléments du portrait de phase pour le système S ´ .
ii). Pour traiter cette question avec un minimum de calculs, il est bon d’observer que
deux champs de vecteurs v et w coïncident si et seulement si, pour toute fonction
f : R
d
→ R de classe C
∞ , v( f ) = w( f ), où l’on utilise ici l’interprétation de v
et w comme des opérateurs différentiels (voir le §4.1), c’est-à-dire que
v( f ) =
d
j=1
f j
∂ f
∂u j
.
Par linéarité, il suffit de se convaincre qu’un champ v est identiquement nul
si et seulement si v( f ) = 0 quelle que soit f : ceci est clair, en choisissant
successivement les fonctions f = f j : u → u j . De plus, concernant le crochet
de Lie, on a la relation fondamentale
[v, w]( f ) = v(w( f )) − w(v( f )) .
Ceci résulte de la règle de dérivation d’un produit et de l’égalité des dérivées
croisées pour f (théorème de Schwarz). Enfin, une dernière observation utile
(bien qu’immédiate), est que pour un champ hamiltonien
v K , pour toute fonction
f ∈ C
∞ (U × R
n ; R), on a
v K ( f ) = { f , K }. Par conséquent
[ v K ,
v H ]( f ) =
v K ( v H ( f )) −
v H ( v K ( f )) = {{ f , H }, K } − {{ f , K }, H }
= { f , {H , K }} =
v {H ,K } ( f ) ,
où l’on a de plus utilisé l’identité de Jacobi (voir p. 65).
iii). Par définition, K est une intégrale première de (H) si et seulement si dK ·
v H ≡ 0,
c’est-à-dire
v H (K ) = 0, ce qui s’écrit encore {K , H } = 0.