Solution des exercices
255
pour t ≤ 0, d’où par le lemme de Gronwall (en prenant garde au fait que t est
négatif)
r ´ (t) ≤ (e
−´C K t
− 1) v .
Or, d’après l’inégalité e
x
− 1 ≤ xe
x , on a (e
−´C K t
− 1) v < K ´ si
4pC K e
4pC K ´ 0 v < K . Pour satisfaire cette dernière inégalité il suffit par
exemple de choisir K > max(1, 4p(4v
2
− 1) e
4p(4v
2 −1) ) v et ´ 0 = v/K . Ces
choix étant faits, on démontre effectivement le résultat voulu par un argument
de bootstrap : il suffit d’appliquer la proposition 7.6 avec z(t) := r ´ (−t),
r := K ´ (et ´ ≤ ´ 0 ), et w(t) := (e
−´C K t
− 1) v, ainsi que le théorème 7.5
pour assurer la minoration du temps d’existence par 4p.
b) On a |u
(t) + 1| ≤ C´/(4p) (inégalité se montrant exactement comme sa
version « intégrée » |u(t) + t| ≤ C´). Donc pour ´ ≤ ´ 0 < 2p/C, u
(t) > 1/2,
ce qui implique que u est un difféormorphisme strictement croissant, et de
plus, u(−4p) ≥ 4p−C´ > 2p, tandis que u(0) = 0 : d’après le théorème des
valeurs intermédiaires, il existe un unique t ´ ∈] − 4p, 0[ tel que u ´ (t ´ ) = 2p.
c) Par définition,
d r ´
dv
=
´ ( r ´ (v)
2 cos
2 v − 1 ) r ´ (v) sin
2 v
−1 + ´ ( r ´ (v) 2 cos 2 v − 1 ) cos v sin v
,
Or avec nos choix précédents | r ´ | ≤ 2v et ´ | r ´ (v)
2 cos
2 v − 1| ≤ 1/2, donc
d r ´
dv
+ ´ ( r ´ (v)
2 cos
2 v − 1 ) r ´ (v) sin
2 v
≤ 4 ´
2 (4v
2
− 1)
2
v .
iv). D’après la question précédente et comme r 0 (v) = v,
lim
´→0
F(v, ´) =
2p
0
(v sin
2 v − v
3 cos
2 v sin
2 v) dv = p ( v −
1
4
v
3 ) .
v). D’après ce qui précède, F(2, 0) = 0 et ∂ v F(2, 0) = −2p
= 0, donc le théorème
des fonctions implicites s’applique.
vi). Pour tout ´ ∈]0, ´ 1 [, il existe v = r(´) tel que R(v; ´, v) = R(0; ´, v) : ceci
fournit une solution de S ´ telle que r ´ (t ´ ) = r ´ (0) et u ´ (t ´ ) = 2p, et donc une
solution de |t ´ |-périodique de (S ´ ), voir la figure 7.8.
Exercice 7.10
i). Le flot de l’équation différentielle
du
dl
= v(u)
définit un unique groupe de transformations à un paramètre (w l ) dont v est, par
construction, le générateur infinitésimal.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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pour t ≤ 0, d’où par le lemme de Gronwall (en prenant garde au fait que t est
négatif)
r ´ (t) ≤ (e
−´C K t
− 1) v .
Or, d’après l’inégalité e
x
− 1 ≤ xe
x , on a (e
−´C K t
− 1) v < K ´ si
4pC K e
4pC K ´ 0 v < K . Pour satisfaire cette dernière inégalité il suffit par
exemple de choisir K > max(1, 4p(4v
2
− 1) e
4p(4v
2 −1) ) v et ´ 0 = v/K . Ces
choix étant faits, on démontre effectivement le résultat voulu par un argument
de bootstrap : il suffit d’appliquer la proposition 7.6 avec z(t) := r ´ (−t),
r := K ´ (et ´ ≤ ´ 0 ), et w(t) := (e
−´C K t
− 1) v, ainsi que le théorème 7.5
pour assurer la minoration du temps d’existence par 4p.
b) On a |u
(t) + 1| ≤ C´/(4p) (inégalité se montrant exactement comme sa
version « intégrée » |u(t) + t| ≤ C´). Donc pour ´ ≤ ´ 0 < 2p/C, u
(t) > 1/2,
ce qui implique que u est un difféormorphisme strictement croissant, et de
plus, u(−4p) ≥ 4p−C´ > 2p, tandis que u(0) = 0 : d’après le théorème des
valeurs intermédiaires, il existe un unique t ´ ∈] − 4p, 0[ tel que u ´ (t ´ ) = 2p.
c) Par définition,
d r ´
dv
=
´ ( r ´ (v)
2 cos
2 v − 1 ) r ´ (v) sin
2 v
−1 + ´ ( r ´ (v) 2 cos 2 v − 1 ) cos v sin v
,
Or avec nos choix précédents | r ´ | ≤ 2v et ´ | r ´ (v)
2 cos
2 v − 1| ≤ 1/2, donc
d r ´
dv
+ ´ ( r ´ (v)
2 cos
2 v − 1 ) r ´ (v) sin
2 v
≤ 4 ´
2 (4v
2
− 1)
2
v .
iv). D’après la question précédente et comme r 0 (v) = v,
lim
´→0
F(v, ´) =
2p
0
(v sin
2 v − v
3 cos
2 v sin
2 v) dv = p ( v −
1
4
v
3 ) .
v). D’après ce qui précède, F(2, 0) = 0 et ∂ v F(2, 0) = −2p
= 0, donc le théorème
des fonctions implicites s’applique.
vi). Pour tout ´ ∈]0, ´ 1 [, il existe v = r(´) tel que R(v; ´, v) = R(0; ´, v) : ceci
fournit une solution de S ´ telle que r ´ (t ´ ) = r ´ (0) et u ´ (t ´ ) = 2p, et donc une
solution de |t ´ |-périodique de (S ´ ), voir la figure 7.8.
Exercice 7.10
i). Le flot de l’équation différentielle
du
dl
= v(u)
définit un unique groupe de transformations à un paramètre (w l ) dont v est, par
construction, le générateur infinitésimal.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit