254
7 • Équations autonomes
peut déduire de ce qui précède que b ´ = T ´ et que x ´ est bornée par C sur
[0, T ´ [, ce qui est en contradiction avec le théorème des bouts.
Pour préciser l’argument de bootstrap, on peut faire appel à la proposition
8.25 de l’appendice. En posant J = [0, T ´ [, on définit les propositions H (t)
et C(t) pour t ∈ J comme suit : H (t) demande que t ∈ B ´ , tandis que C(t)
demande que x ´ (s) ≤ w(s) pour tout s ∈ [0, t]. Alors H (0) est vraie (puisque
0 ∈ B ´ = [0, b ´ [ !), et l’ensemble des t tels que C(t) est fermé puisque
w − x ´ est continue sur J . Si C(t) est vraie, alors 0 < x ´ (t) ≤ C (puisque
t ∈ J ⊂ [0, T [), d’où
t
0
´ x ´ (s)
2 ds ≤ T C
2 ´ < ln 2
par hypothèse sur ´. Donc H (t) est vraie et elle le reste au voisinage de t
puisque c’est une condition ouverte. Enfin, la question précédente montre que
si H (t) est vraie alors C(t) l’est. Donc C(t), ainsi que H (t), sont vraies pour
tout t ∈ J .
Exercice 7.9
i). Le système (S ´ ) est constitué des deux équations x
= y, y
= ´ (x
2
− 1)y − x.
Le point (0, 0) en est le seul point fixe. Le système linéarisé en ce point est
x
= y, y
= −´ y − x. Les valeurs propres de la matrice correspondantes sont
complexes conjuguées de partie réelle −´/2 < 0 : le point (0, 0) est donc un
puits.
ii). Si (x, y) = (r cos u, r sin u) alors r
= x
cos u + y
sin u et u
= (y
cos u −
x
sin u)/r , ce qui donne immédiatement le système (S ´ ) lorsque (x, y) est solution de (S ´ ), et vice versa.
iii). a) L’essentiel du travail porte sur la majoration de r ´ := |r ´ − v|, car
u ´ (t) + t = ´
t
0
(r ´ (s)
2 cos
2 u ´ (s) − 1) sin u ´ (s) cos u ´ (s) ds ,
et donc |u ´ (t) + t| ≤ 4p ´ ((v + K ´ 0 )
2
− 1) si r ´ ≤ K ´, |t| ≤ 4p et ´ ≤ ´ 0 .
Sous les mêmes conditions, en notant C K := ((v + K ´ 0 )
2
− 1), on observe
également que, puisque
v − r ´ (t) = ´
0
t
(r ´ (s)
2 cos
2 u ´ (s) − 1) r ´ (s) sin
2 u ´ (s) ds ,
r ´ (t) ≤ ´ C K
0
t
(v + r ´ (s)) ds ,
7 • Équations autonomes
peut déduire de ce qui précède que b ´ = T ´ et que x ´ est bornée par C sur
[0, T ´ [, ce qui est en contradiction avec le théorème des bouts.
Pour préciser l’argument de bootstrap, on peut faire appel à la proposition
8.25 de l’appendice. En posant J = [0, T ´ [, on définit les propositions H (t)
et C(t) pour t ∈ J comme suit : H (t) demande que t ∈ B ´ , tandis que C(t)
demande que x ´ (s) ≤ w(s) pour tout s ∈ [0, t]. Alors H (0) est vraie (puisque
0 ∈ B ´ = [0, b ´ [ !), et l’ensemble des t tels que C(t) est fermé puisque
w − x ´ est continue sur J . Si C(t) est vraie, alors 0 < x ´ (t) ≤ C (puisque
t ∈ J ⊂ [0, T [), d’où
t
0
´ x ´ (s)
2 ds ≤ T C
2 ´ < ln 2
par hypothèse sur ´. Donc H (t) est vraie et elle le reste au voisinage de t
puisque c’est une condition ouverte. Enfin, la question précédente montre que
si H (t) est vraie alors C(t) l’est. Donc C(t), ainsi que H (t), sont vraies pour
tout t ∈ J .
Exercice 7.9
i). Le système (S ´ ) est constitué des deux équations x
= y, y
= ´ (x
2
− 1)y − x.
Le point (0, 0) en est le seul point fixe. Le système linéarisé en ce point est
x
= y, y
= −´ y − x. Les valeurs propres de la matrice correspondantes sont
complexes conjuguées de partie réelle −´/2 < 0 : le point (0, 0) est donc un
puits.
ii). Si (x, y) = (r cos u, r sin u) alors r
= x
cos u + y
sin u et u
= (y
cos u −
x
sin u)/r , ce qui donne immédiatement le système (S ´ ) lorsque (x, y) est solution de (S ´ ), et vice versa.
iii). a) L’essentiel du travail porte sur la majoration de r ´ := |r ´ − v|, car
u ´ (t) + t = ´
t
0
(r ´ (s)
2 cos
2 u ´ (s) − 1) sin u ´ (s) cos u ´ (s) ds ,
et donc |u ´ (t) + t| ≤ 4p ´ ((v + K ´ 0 )
2
− 1) si r ´ ≤ K ´, |t| ≤ 4p et ´ ≤ ´ 0 .
Sous les mêmes conditions, en notant C K := ((v + K ´ 0 )
2
− 1), on observe
également que, puisque
v − r ´ (t) = ´
0
t
(r ´ (s)
2 cos
2 u ´ (s) − 1) r ´ (s) sin
2 u ´ (s) ds ,
r ´ (t) ≤ ´ C K
0
t
(v + r ´ (s)) ds ,